Copertina
Autore Ken Binmore
Titolo Teoria dei giochi
EdizioneCodice, Torino, 2008, Paperback , pag. 208, ill., cop.fle., dim. larxaltxspe cm , Isbn 978-88-7578-117-0
OriginaleGame Theory. A Very Short Introduction [2007]
TraduttoreEva Filoramo
LettoreElisabetta Cavalli, 2009
Classe matematica , giochi
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Indice


  3  Capitolo 1     Le regole del gioco

 27  Capitolo 2     Caso

 43  Capitolo 3     Tempo

 67  Capitolo 4     Convenzioni

 83  Capitolo 5     Reciprocità

103  Capitolo 6     Informazione

119  Capitolo 7     Aste

137  Capitolo 8     Biologia evoluzionistica

163  Capitolo 9     Contrattazioni e coalizioni

183  Capitolo 10    Misteri e paradossi


201  Bibliografia e consigli di lettura

205  Indice analitico


 

 

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Pagina 4

Capitolo 1

Le regole del gioco


Di cosa si occupa la teoria dei giochi?

Un giorno in cui mia moglie era occupata durante un piccolo e piacevole congresso in Toscana, tre giovani donne m'invitarono a pranzo al loro tavolo. Non appena mi sedetti, una di loro disse con voce suadente: «Insegnaci a giocare il gioco dell'amore». Ma saltò poi fuori che tutto ciò che volevano era un consiglio sul modo di trattare i ragazzi italiani. Ancora oggi penso che sbagliassero a non accettare i miei consigli strategici, ma avevano proprio ragione a dare per scontato che il corteggiamento sia uno dei molti tipi diversi di giochi che giochiamo nella vita reale.

I guidatori che si destreggiano nel traffico stanno giocando un gioco della guida; i procacciatori di affari che fanno offerte su eBay stanno giocando un gioco delle aste; un'azienda e un sindacato che negoziano il salario del prossimo anno stanno giocando un gioco d'affari. Quando candidati di fazioni opposte scelgono il proprio programma elettorale per un'elezione stanno giocando un gioco politico; il proprietario di un negozio di alimentari che decide il prezzo che avranno oggi i cornflakes sta giocando un gioco economico. In breve, ogni volta in cui esseri umani interagiscono tra loro, giocano un gioco.

Antonio e Cleopatra giocavano il gioco del corteggiamento su grande scala, mentre Bill Gates è diventato incredibilmente ricco giocando il gioco dei software per computer; Adolf Hitler e Josef Stalin giocarono un gioco che uccise una parte sostanziale della popolazione mondiale, mentre il gioco di Krushev e Kennedy, durante la crisi missilistica di Cuba, avrebbe potuto spazzarci via tutti insieme.

Se la teoria dei giochi, con un campo di applicazioni così vasto, potesse sempre prevedere come le persone si comporteranno nei tanti giochi di cui consiste in gran parte la vita sociale, sarebbe una panacea universale. La teoria dei giochi, tuttavia, non è in grado di risolvere tutti i problemi del mondo perché funziona soltanto quando le persone giocano razionalmente. Di conseguenza, non può prevedere il comportamento di adolescenti pazzi d'amore come Romeo o Giulietta, né di uomini folli come Hitler o Stalin. D'altra parte, non sempre la gente si comporta irrazionalmente; non è pertanto una perdita di tempo studiare cosa succede quando le persone agiscono con il sale in zucca. La maggior parte di noi, per lo meno, cerca di spendere i soldi in modo intelligente - e in gran parte dei casi non lo facciamo troppo male, altrimenti la teoria economica non funzionerebbe affatto.

Anche quando le persone non hanno pianificato tutto con anticipo, non significa che si stiano necessariamente comportando in modo irrazionale; la teoria dei giochi ha riscosso alcuni successi notevoli spiegando il comportamento di ragni e di pesci - nessuno dei quali si può dire che sia in grado di pensare. Si scopre che questi animali privi d'intelligenza agiscono come se fossero esseri senzienti, perché i rivali con i geni programmati per comportarsi irrazionalmente sono oggi estinti. Allo stesso modo, le aziende non sempre sono dirette da grandi intelletti, ma spesso il mercato è impietoso tanto quanto la Natura quando si tratta di togliere di mezzo chi non è adeguato.

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Pagina 15

L'equilibrio di Nash

Il vecchio film Gioventù bruciata viene ancora trasmesso di tanto in tanto a causa del suo protagonista, l'indimenticabile James Dean nel ruolo di un affascinante adolescente ribelle. Il gioco della gara di coraggio fu inventato per commemorare una scena in cui lui e un altro ragazzo guidano in direzione di un precipizio per vedere chi salterà fuori per primo dall'auto. noto che Bertrand Russell usò questo episodio come metafora della Guerra fredda.

Io preferisco illustrare il gioco con una storia più noiosa, in cui Alice e Bob sono due guidatori di mezza età che si stanno per incontrare mentre procedono lungo una strada troppo stretta perché possano passare se uno dei due non rallenta. Le strategie, mostrate nella Figura 4, sono pertanto chiamate "lenta" e "veloce".


          lento     veloce                    balletto    boxe
       __________ __________                 __________ __________
      |          |          |               |          |          |
      |       3  |      (4) |               |      (2) |      0   |
 lento|          |          |       balletto|          |          |
      |   3      |  (0)     |               |  (1)     |  0       |
      |__________|__________|               |__________|__________|
      |          |          |               |          |          |
      |      (0) |      -1  |               |      -1  |     (1)  |
veloce|          |          |           boxe|          |          |
      |  (4)     |  -1      |               |   0      | (2)      |
      |__________|__________|               |__________|__________|

         Gara di coraggio                     Battaglia dei sessi

4. Giochi con motivazioni miste.



La nuova situazione sottovaluta l'elemento competitivo della storia originale; il gioco della gara di coraggio differisce dai giochi a somma zero come il lancio delle monete perché i giocatori hanno, in aggiunta, un interesse comune a evitare un disastro reciproco.

Gli stereotipi incorporati nella "battaglia dei sessi" anticipano il movimento di liberazione femminista. Alice e Bob sono una coppia appena sposata che sta trascorrendo la luna di miele a New York; a colazione, discutono se andare, la sera, a un incontro di boxe o a un balletto, ma non riescono a prendere una decisione. Più tardi, si perdono di vista a causa della folla di persone; ciascuno di loro deve quindi decidere indipendentemente dove trascorrere la serata.

La storia che accompagna la battaglia dei sessi enfatizza le caratteristiche cooperative del problema, ma si aggiunge un elemento conflittuale che era assente nel gioco della guida, perché ogni giocatore preferisce che si cooperi per raggiungere un risultato diverso: ad Alice piace di più il balletto, e a Bob la boxe.


John Nash

Da quando la sua vita è stata messa in scena nel film A Beautiful Mind, ognuno di noi ha sentito parlare di John Nash. Come mostra la pellicola, gli alti e bassi della sua vita sono al di fuori delle esperienze della maggior parte degli esseri umani. Non era ancora laureato quando diede inizio alla moderna teoria della negoziazione razionale; la sua tesi di laurea formulò il concetto di "equilibrio di Nash", oggi visto come il mattone fondante della teoria dei giochi. Continuò il suo lavoro risolvendo fondamentali problemi della matematica pura, usando metodi talmente originali che la sua fama di genio matematico assoluto si affermò senza ombra di dubbio. Tuttavia, fu preda di un disturbo schizofrenico che rovinò la sua carriera e, infine, lo lasciò a languire nell'oscurità per più di 40 anni, come oggetto di scherzi occasionali in tutto il campus di Princeton. Il suo essersi ristabilito in tempo per vincere un premio Nobel sembra, in retrospettiva, quasi un miracolo; eppure, come ha commentato lo stesso Nash, senza la sua "pazzia" sarebbe probabilmente stato soltanto uno dei tanti che sono vissuti e morti sul nostro pianeta senza aver lasciato dietro di sé alcuna traccia della propria esistenza.

Non è tuttavia necessario essere un genio fuori controllo per comprendere l'idea di un equilibrio di Nash. Abbiamo visto che, nei giochi, i ricavi sono scelti in modo da rendere tautologico il fatto che giocatori razionali cercheranno di massimizzare il proprio ricavo medio. Ciò sarebbe facile se i giocatori sapessero quali strategie sceglieranno i propri avversari; per esempio, se Alice sapesse che Bob sta per scegliere il balletto nella battaglia dei sessi, massimizzerebbe il proprio ricavo scegliendolo anche lei. In altri termini, il balletto è la migliore risposta di Alice alla stessa scelta da parte di Bob, come indicato nella Figura 4 con il cerchio intorno al ricavo di Alice nella casella che risulta se entrambi i giocatori scelgono il balletto.

Un equilibrio di Nash non è nient'altro che una coppia di strategie che hanno come risultato una casella in cui entrambi i ricavi sono cerchiati; più in generale, questo equilibrio ha luogo quando tutti i giocatori stanno, simultaneamente, dando la risposta migliore alle scelte strategiche degli altri.

Sia (boxe, boxe) sia (balletto, balletto) sono pertanto equilibri di Nash nel gioco della battaglia dei sessi. Allo stesso modo, le coppie (veloce, lento) e (lento, veloce) sono equilibri di Nash nel gioco della gara di coraggio.

Perché dovremmo occuparci degli equilibri di Nash? Ci sono due motivi fondamentali. Il primo suppone che giocatori razionali ideali, per trovare la propria soluzione a un gioco, compiano dei ragionamenti. La seconda suppone che le persone trovino la propria soluzione mediante un qualche processo evolutivo di tentativi ed errori. Gran parte del potere predittivo della teoria dei giochi nasce dalla possibilità di fare avanti e indietro tra queste interpretazioni alternative. raro che il processo evolutivo sia ben noto ma, a volte, possiamo fare un salto in avanti e predire cosa faranno i giocatori chiedendoci cosa farebbero in quella situazione dei giocatori razionali.

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Pagina 35

Il teorema minimax

Quando un giovane John Nash andò all'ufficio di Von Neumann per parlargli della sua dimostrazione del fatto che, quando sono ammesse strategie miste, tutti i giochi finiti hanno almeno un equilibrio, Von Neumann minimizzò. Perché non accolse bene il contributo di Nash?

vero che, per Von Neumann, il metodo che Nash aveva usato per dimostrare il suo teorema non era certo una novità, dato che era stato lui stesso a usarlo per la prima volta. anche vero che il modo di fare di Nash non era particolarmente diplomatico, dal momento che all'incirca nello stesso periodo era andato a trovare Albert Einstein per dirgli come si studia la fisica. Von Neumann, tuttavia, non aveva nulla da temere da un giovane laureato arrogante che si faceva strada nella sua materia. Penso ci fosse una ragione più importante e più profonda nella mancanza di interesse da parte di Von Neumann.

Sembra che egli non abbia mai meditato molto sull'interpretazione evoluzionistica della teoria dei giochi; credeva che lo scopo di studiare un gioco consistesse nell'identificare una soluzione razionale non ambigua. L'idea di un equilibrio di Nash non soddisfa la sua richiesta, perché la maggior parte dei giochi ha molti equilibri di Nash e, spesso, non c'è alcun motivo razionale per sceglierne uno piuttosto che un altro. Come Von Neumann stesso sottolineò tempo dopo, il criterio della risposta migliore ci dice soltanto che alcuni profili strategici non possono essere soluzioni razionali di un gioco, mentre noi vogliamo sapere quali profili strategici possono esserlo.


Minimax e maximin

Si può presupporre che Von Neumann abbia ristretto la propria attenzione ai giochi a somma zero con due partecipanti perché sono una tra le poche classi di giochi in cui il suo ideale di soluzione razionale unica può realizzarsi. una sfortuna che la sua dimostrazione di questo fatto debba chiamarsi "teorema minimax", dal momento che la soluzione razionale di un gioco a somma zero con due partecipanti consiste, a dire il vero, nel fatto che essi applichino il principio "maximin". Quest'ultimo dice come trovare il peggior ricavo che si potrebbe ottenere in media da ciascuna delle strategie miste e di scegliere poi qualsiasi tattica massimizzerebbe il ricavo nel caso in cui questo scenario peggiore si presentasse ogni volta.

Per esempio, nel lancio delle monete, la cosa peggiore che potrebbe accadere ad Alice sarebbe che Bob indovinasse la strategia mista che lei sceglie. Se questa strategia le richiede di giocare testa più della metà delle volte, lui giocherà sempre croce e Alice, di conseguenza, perderà più della metà delle volte e il suo payoff sarà negativo. Se la strategia di Alice implica che lei giochi croce più della metà delle volte, Bob giocherà sempre testa e, di nuovo, Alice perderà in più della metà dei casi e, nuovamente, il suo ricavo sarà negativo.

La strategia maximin di Alice, pertanto, consiste nel giocare testa e croce con la stessa frequenza, il che le garantisce un ricavo esattamente pari a zero.

Soltanto un paranoico potrebbe considerare il principio maximin attraente di per sé, dal momento che esso assume come ipotesi che l'universo, in un certo senso, abbia scelto proprio te come il suo peggior nemico. Ad ogni modo, se Alice gioca contro Bob in un gioco a somma zero, quest'ultimo è tutto l'universo che per lei conta qualcosa, e in questo caso particolare è vero che l'universo l'ha scelta come suo peggior nemico.


Perché maximin?

Ironicamente, il teorema minimax di Von Neumann scaturisce dalla dimostrazione di Nash secondo cui tutti i giochi finiti hanno almeno un equilibrio di Nash.

Per capire quest'affermazione, cominciamo con il localizzare un equilibrio di Nash in un gioco a somma zero. Chiamiamo "riga" la strategia di equilibrio di Alice e "colonna" quella di Bob: i payoff di Alice e Bob nella situazione di equilibrio si chiameranno "valore di Alice" e "valore di Bob". Nel lancio delle monete, ad esempio, riga e colonna sono le strategie miste in cui testa e croce sono giocate con la stessa probabilità; il valore di Alice e il valore di Bob sono il payoff nullo che ogni giocatore ottiene in media giocando in questo modo.

Alice non può essere sicura di ottenere più del valore di Alice perché Bob potrebbe sempre giocare colonna, a cui lei può rispondere con la strategia migliore se gioca riga. Alice, d'altro canto, può essere certa di ottenere almeno il valore di Alice se gioca riga, perché la cosa migliore che Bob può fare consiste nel rispondere colonna e in un gioco a somma zero la cosa migliore che può fare Bob per se stesso è uguale alla cosa peggiore che può fare per Alice. Il valore di Alice, di conseguenza, è il suo payoff maximin, e riga è la sua strategia maximin.

Ragionando allo stesso modo, il valore di Bob è il suo ricavo maximin e colonna è una delle sue strategie maximin. Dato che il valore di Alice e quello di Bob sommati danno zero, ne segue che è pari a zero anche la somma dei loro payoff maximin. Nessun giocatore può, di conseguenza, ottenere più del suo payoff maximin a meno che l'altro non ottenga di meno. In definitiva, non è possibile migliorare il principio maximin quando si gioca un gioco a somma zero con due persone contro un avversario razionale.

La dimostrazione che Von Neumann diede di quest'ultima affermazione si chiama "teorema minimax", dal momento che sostenere che la somma dei payoff maximin di Alice e Bob sia uguale a zero è equivalente a sostenere che il payoff maximin di Alice equivale al suo payoff minimax. Non si deve, tuttavia, commettere l'errore che molti fanno di pensare che Von Neumann consigliasse di usare il principio minimax: nessuno vorrebbe trovare il payoff migliore che si può ottenere in media da tutte le strategie miste per poi scegliere la tattica che minimizzerebbe il proprio payoff se lo scenario migliore si realizzasse sempre!

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Pagina 137

Capitolo 8

Biologia evoluzionistica


Rispetto agli scienziati sociali, i biologi hanno un enorme vantaggio quando applicano la teoria dei giochi, perché hanno molti dati in più. La selezione naturale ha generato una grande varietà di specie diverse, alcune delle quali sono così strane e meravigliose che sembrano sfidare una spiegazione razionale. Ma cosa potrebbe essere più soddisfacente di imparare infine che la inusuale genetica dell' Hymenoptera spiega la suddivisione sessuale impari in certe specie di api? Oppure che due varianti di Leoponis macrochirus riescono a convivere nello stesso lago? Negare l'evoluzione, di fronte a tali esempi, mi sembra sia analogo a comportarsi come il teologo che rifiutò di guardare dentro il telescopio di Galileo.

Ancora più notevole è il fatto che anche il più rozzo dei modelli giocattolo a volte è sufficiente per modellare con successo il comportamento di qualche animale. Nessuno crede davvero, per esempio, che la riproduzione tra gli uccelli sia asessuata, oppure che il processo evolutivo sia deterministico; come in fisica, tuttavia, talvolta i modelli che risultano dall'aver fatto tali semplificazioni un po' eroiche rispecchiano i dati incredibilmente bene.


Teoria dei giochi evoluzionistica

Herbert Spencer riassunse la teoria dell'evoluzione di Darwin come la sopravvivenza del più adatto. Quando ci chiediamo perché gli animali di alcune specie si comportano come fanno, pertanto, cerchiamo una risposta che spieghi perché i comportamenti alternativi fossero meno adatti. Ma come bisogna definire la fitness, ossia l'essere adattativo?

La definizione di Bill Hamilton rende inevitabile che la modellizzazione del comportamento degli animali si riduca, talvolta, alla ricerca degli equilibri di Nash dei giochi. Considerò la fitness di un tratto comportamentale come il numero medio di bambini che portano quel tratto nella generazione successiva, come risultato del fatto che esso è stato usato nella generazione corrente. Con questa definizione, i tratti comportamentali possono essere identificati con le strategie e la fitness con l'utilità.

Quando gli animali competono, possiamo immaginare che la sorte, occasionalmente, prenda dalla popolazione in esame due o più individui che giocano un gioco. Un esempio famoso, in ecologia, è il gioco preda-predatore che risulta nel numero di linci e lepri canadesi, che segue un cirlo indefinito. Questo capitolo, tuttavia, si focalizzerà su giochi giocati all'interno di una stessa specie e che hanno risultati stabili. Per esempio, cosa determina la durata del tempo in cui una Scathophaga stercoraria maschio, quando cerca di accoppiarsi, aspetta una femmina accanto a un certo escremento di mucca? Dato che il problema strategico è lo stesso per tutte le mosche di questo tipo, possiamo concentrare la nostra attenzione su equilibri di Nash simmetrici di giochi simmetrici.

Tn gioco simmetrico sembra esattamente uguale a tutti i suoi giocatori; in un equilibrio simmetrico, tutti i giocatori usano la stessa strategia. Una variante del teorema di Nash mostra che tutti i giochi simmetrici finiti hanno almeno un equilibrio di Nash simmetrico.


Replicatori

Le acque filosofiche, sfortunatamente, sono state inquinate da una controversia su chi o cosa dovrebbe essere considerato un giocatore in un gioco evoluzionistico: una specie in quanto tale? Un singolo animale? Un pacchetto di materiale genetico? Oppure un singolo gene? Il titolo del libro di Richard Dawkins, Il gene egoista, sembrerebbe dirci la sua posizione al proposito, ma a dire il vero l'autore abbraccia il punto di vista più sofisticato secondo cui tutto ciò che replica se stesso può essere visto come un'unità fondamentale in un gioco evoluzionistico.

Come l'anziana signora che, come vidi una volta, mise in seria difficoltà Dawkins per il fatto che non riusciva a vedere che i geni non sono altro che molecole e, pertanto, non possono avere il libero arbitrio; a volte la gente trova paradossale che la teoria dei giochi possa essere applicata con successo alla biologia evoluzionistica. Come può un insetto essere un giocatore? Gli insetti non possono ragionare, il loro comportamento è in gran parte istintivo: fanno solo quello che sono programmati per fare.

La soluzione al paradosso è che non è necessario che, nel gioco, i giocatori siano gli animali in esame. Se il comportamento investigato è in gran parte istintivo, esso è codificato nei geni dell'animale. Si può pensare ai geni come a parte dell'hardware di un computer naturale: quella in cui sono conservati i programmi del computer. Alcuni di essi controllano il comportamento dell'animale.

Un'importante proprietà dei programmi informatici è che possono essere copiati da un computer a un altro. I virus informatici copiano se stessi da un Pc a un altro: sono autoreplicanti. I programmi impressi sui geni di un animale sono, anch'essi, autoreplicanti, ma la loro replicazione è, paragonata a quella di un virus da computer, immensamente complicata. La natura non soltanto deve copiare i programmi da un computer naturale a un altro, ma deve anche crearne uno su cui i programmi possano essere copiati. La scoperta fatta da Crick e Watson del modo in cui la natura esce da quest'impiccio usando lo strumento della doppia elica è una delle più grandi e belle storie di un'avventura scientifica, che però dovrà essere goduta in un altro luogo. Tutto quello che c'interessa, in questa sede, è che capiamo che esiste qualcosa che svolge due funzioni: replica se stesso e determina, in un gioco, un comportamento strategico.

Tutte le volte in cui troviamo qualcosa, in un modello, a cui possiamo attribuire queste due proprietà, lo chiamiamo "replicatore".

Sicuramente i geni possono essere replicatori. I critici, talvolta, si lamentano del fatto che una mutazione in un singolo gene è improbabile che abbia grandi effetti, ma anche la minima modificazione in un tratto comportamentale può essere significativa quando la fitness è mediata su un arco di tempo abbastanza lungo. Anche i pacchetti di geni che tendono a essere replicati insieme sono dei replicatori; in una specie partenogenica come i rotiferi bdelloidei, una madre trasmette ai figli il suo intero codice genetico, nel qual caso si potrebbe proprio dire che ogni singolo tipo di animale è un replicatore.

I replicatori, per sopravvivere, hanno bisogno di ospiti nei quali stampare i propri geni. Dal momento che abbiamo definito la fitness di un ospite come una misura di quanto spesso questo riproduce i propri geni, diventa quasi una tautologia affermare che i replicatori che conferiscono ai propri ospiti una fitness alta controlleranno una quantità di ospiti superiore a quelli che conferiscono agli ospiti una fitness bassa. Se l'ambiente sostiene soltanto un numero ristretto di ospiti, il replicatore che conferisce ai propri ospiti una fitness bassa è possibile che, alla fine, si estingua; sopravvive così il replicatore più adatto.

Se Alice sta osservando la situazione mentre evolve, può provare a trovare un senso a ciò che vede attribuendo una meta o uno scopo al meccanismo, quale che sia, che genera i replicatori: quello che massimizza la fitness degli ospiti. Se la selezione naturale opera abbastanza a lungo in un ambiente stabile, sopravvivono soltanto quei replicatori che sono bravi a massimizzare la fitness dei propri ospiti. Ad Alice sembrerà allora come se qualcosa stesse coscientemente scegliendo i replicatori che massimizzano la fitness; chiameremo questo qualcosa immaginario come un giocatore del gioco in questione.

Quando, per esempio, si scelgono come replicatori le varianti di un singolo gene, possiamo immaginare che il giocatore se ne stia seduto su un cromosoma nel locus in cui opera quel gene particolare. I biologi attenti a cui piace pensare che gli stessi geni siano giocatori, per le possibili forme che un gene può assumere usano il termine "allele". tuttavia comune sfumare la distinzione tra un giocatore e un replicatore similmente al modo in cui la distinzione tra un giocatore e un tipo si sfuma nella teoria dell'informazione incompleta (si veda "Informazione incompleta", Capitolo 6).

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Pagina 160

Evoluzione culturale o sociale

A volte si pensa che bisognerebbe parlare di evoluzione soltanto se l'analogia con quella biologica è molto stretta. vero che i replicatori non insorgono soltanto in un contesto biologico. Regole empiriche, codici di comportamento, mode, stili di vita, credenze e idee scientifiche sono tutti tipi di replicatori. Richard Dawkins li chiama "memi": si diffondono da una mente all'altra attraverso l'imitazione o l'educazione.

Un tempo ero entusiasta dei memi, ma ora che abbiamo capito che la dinamica dei replicatori non emerge soltanto nei modelli fittizi della riproduzione biologica, ma anche da quelli dell'imitazione e dell'apprendimento come risposta agli stimoli, non sembra necessario incatenarci al paradigma dei memi. Ogni volta in cui la dinamica adattativa ci porta all'equilibrio di Nash di un gioco, sono pronto a parlare di evoluzione culturale.

La principale differenza nell'applicare idee evoluzionistiche alle scienze biologiche piuttosto che a quelle sociali sembrerebbe essere che i biologi di solito sono molto informati sulle fonti di variazioni interessanti, mentre gli scienziati sociali possono soltanto tirare a indovinare. Un modello evoluzionistico in economia, per esempio, deve tenere in conto che le mutazioni della forma di nuovi schemi per fare soldi compaiono tutti i momenti, ma se gli economisti potessero prevedere quali avranno successo sarebbero tutti ricchi!

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