|
|
|
|
|
|
|
| << | < | > | >> |Indice
Sguardo dall'alto XI
Elenco delle illustrazioni XIX
Ringraziamenti XXV
Parte 1: GEB
Introduzione: un'offerta musico-logica 3
Invenzione a tre voci 31
Capitolo I: Il Gioco MU 36
Invenzione a due voci 47
Capitolo II: Significato e forma in matematica 50
Sonata per Achille solo 67
Capitolo III: Figura e sfondo 70
Contracrostipunto 82
Capitolo IV: Coerenza, completezza e geometria 90
Piccolo labirinto armonico 113
Capitolo V: Strutture e processi ricorsivi 137
Canone per aumentazione intervallare 166
Capitolo VI. Dove risiede il significato? 171
Fantasia cromatica e faida 192
Capitolo VII: Il Calcolo Proposizionale 198
Canone cancrizzante 217
Capitolo VIII: L'Aritmetica Tipografica 223
Un'offerta MU 253
Capitolo IX: Mumon e Gödel 268
Parte II: EGB
Preludio e... 299
Capitolo X: Livelli di descrizione e sistemi di calcolo 309
... mirmecofuga 337
Capitolo XI: Cervelli e pensieri 365
Suite anglo-franco-italo-ledesca 397
Capitolo XII: Menti e pensieri 400
Variazioni Goldbach 424
Capitolo XIII: CicloL, CicloI, CicloH 439
Aria sulla quarta corda 466
Capitolo XIV: Sulle proposizioni formalmente
indecidibili dell'AT e di sistemi affini 474
Cantatatata... per un compleanno 498
Capitolo XV: Uscire dal sistema 502
Pensieri edificanti di un fumatore di tabacco 519
Capitolo XVI: Autoreferenza e Autoreplicazione 535
Magnifigranc in REaltà! 593
Capitolo XVII: Church, Turing, Tarski ed altri 604
Parla, SHRDLU, parla perché possa capirti 633
Capitolo XVIII: Intelligenza Artificiale:
uno sguardo retrospettivo 641
Contrafactus 685
Capitolo XIX: Intelligenza Artificiale:
uno sguardo alle prospettive 693
Canone dell'Ai 737
Capitolo XX: Strani Anelli e Gerarchie Aggrovigliate:
il cuore dell'IA 741
Ricercare a sei voci 781
Note 805
Bibliografia ragionata 808
Fonti del materiale illustrativo 822
Indice analitico 824
|
| << | < | > | >> |Pagina XIIntroduzione: un'offerta musico-logica. Il libro si apre con la storia della Offerta musicale di Bach. Nel 1747 Bach fece una visita improvvisa a Federico il Grande di Prussia e in quella occasione gli fu richiesto di improvvisare su un tema presentatogli dal Re. Le sue improvvisazioni formarono poi la base di quel grande lavoro. L' Offerta musicale e la sua storia costituiscono il tema sul quale io stesso "improvviso" per tutto il libro rendendolo così una specie di "Offerta metamusicale". Vengono discussi a lungo l'autoreferenza e il gioco tra i diversi livelli nell'opera di Bach; si passa poi a una discussione di idee omologhe nei disegni di Escher e finalmente al Teorema di Gödel. Fornisco una breve presentazione della storia della logica e dei paradossi come sfondo al Teorema di Gödel. Tutto questo porta ai calcolatori ed al ragionamento meccanico nonché al dibattito sulla possibilità dell'Intelligenza Artificiale. Concludo con una spiegazione sulle origini del libro stesso: in particolare sul perché e sul per come dei Dialoghi. Invenzione a tre voci. Bach scrisse quindici invenzioni a tre voci. In questo Dialogo con tre personaggi, la Tartaruga e Achille, protagonisti di quasi tutti i Dialoghi, vengono "inventati" da Zenone (come lo furono nella realtà: Zenone se ne servì per illustrare i suoi paradossi sulla impossibilità del moto). Un Dialogo molto breve che serve semplicemente a dare il sapore di quelli a venire. Capitolo I: Il Gioco MU. Viene presentato un semplice sistema formale (il sistema MIU) e il lettore viene invitato a tentare di risolvere un gioco in esso formulato per acquistare familiarità con i sistemi Normalizzati in generale. Vengono introdotti alcuni concetti fondamentali: stringa, teorema, assioma, regola di inferenza, derivazione, sistema formalizzato (o formale), procedura di decisione, lavorare all'interno e all'esterno del sistema. Invenzione a due voci. Bach scrisse anche quindici invenzioni a due voci. Questo Dialogo con due personaggi non fu scritto da me, ma da Lewis Carroll nel 1895. Carroll prese in prestito i personaggi di Achille e della Tartaruga da Zenone ed io a mia volta li ho presi in prestito da Carroll. L'argomento del Dialogo è la relazione tra ragionamento, ragionamento sul ragionamento, ragionamento sul ragionamento sul ragionamento, e così via. Esso segue in un certo modo la stessa linea dei paradossi di Zenone sulla impossibilità del moto, mostrando apparentemente, con l'uso del regresso all'infinito, che il ragionamento è impossibile. Č un bel paradosso al quale farò riferimento diverse volte nel corso del libro. Capitolo II: Significato e forma in matematica. Viene introdotto un nuovo sistema formalizzato (il sistema pg) ancora più semplice del sistema MIU del Capitolo I. A prima vista esso sembra privo di significato, ma i suoi simboli improvvisamente si rivelano significanti in virtù della forma dei teoremi nei quali occorrono. Questa rivelazione costituisce la prima importante intuizione sul significato: il suo profondo legame con l'isomorfismo. Vengono poi discussi vari temi legati al significato: verità, dimostrazione, manipolazione simbolica e l'elusivo concetto di "forma". [...] | << | < | > | >> |Pagina 31Achille (il guerriero greco, il più veloce di tutti i mortali) e una tartaruga si trovano su una pista polverosa sotto il sole. Molto più avanti sulla pista, su una lunga asta, vi è una grande bandiera rettangolare. La bandiera è tutta rossa, a parte un sottile buco a forma d'anello, attraverso il quale si vede il cielo. Achille: Che cos'è quella strana bandiera all'altro lato della pista? Mi ricorda in qualcosa una stampa del mio artista preferito, M. C. Escher. Tartaruga: Quella è la bandiera di Zenone. Achille: Il foro che c'è non somiglia a quelli disegnati da Escher in un suo nastro di Möbius? Qualcosa non va in quella bandiera. Ne sono certo. Tartaruga: L'anello che è stato ritagliato nella bandiera ha la forma di un numero zero, che è il numero preferito di Zenone. Achille: Ma lo zero non è stato ancora inventato! Verrà inventato tra qualche millennio da un matematico indiano. E quindi, signorina T., ciò prova che quella bandiera è impossibile. Tartaruga: Il suo argomento è convincente, Achille, ed io devo convenire che una simile bandiera è davvero impossibile! Comunque è bella, non è vero? Achille: Oh, si, non c'è dubbio alcuno sulla sua bellezza. Tartaruga: Mi chiedo se la sua bellezza non sia connessa con la sua impossibilità. Non lo so; non ho mai avuto il tempo di analizzare la Bellezza. La Bellezza è una Essenza Maiuscola, e sembra che io non abbia mai tempo per le Essenze Maiuscole. Achille: Parlando di Essenze Maiuscole, signorina T., si è mai interrogata sullo Scopo della Vita? Tartaruga: Cielo, no! Achille: Non si è neanche mai chiesta come mai siamo qui, chi ci ha inventati? Tartaruga: Oh, questa è una cosa del tutto diversa. Noi siamo invenzioni di Zenone (come presto scoprirà) e la ragione per la quale siamo qui è che dobbiamo misurarci in una gara podistica. Achille: Una gara podistica? Che insolenza! Io, il più veloce di tutti i mortali, misurarmi con lei, l'essere più lento di tutti i lenti! Questa gara non può che essere priva di senso. Tartaruga: Lei potrebbe darmi un po' di vantaggio. Achille: Dovrei darle un grossissimo vantaggio. Tartaruga: Non faccio obiezioni. Achille: Ma la raggiungerò, prima o poi; molto probabilmente, prima. Tartaruga: No, se le cose andranno secondo il paradosso di Zenone. Zenone spera di usare la nostra gara podistica per dimostrare che il moto è impossibile, capisce? Secondo Zenone, il moto sembra possibile solo nella mente. In verità, il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile. Ed egli lo dimostra in maniera davvero elegante. Achille: Oh, mi ricordo adesso: il famoso kòan Zen sul Maestro Zen Zenone. Come lei dice, è davvero molto semplice. Tartaruga: Kòan Zen? Maestro Zen? Che cosa dice? Achille: Dice: Due monaci stavano discutendo di una bandiera. Uno disse: "La bandiera si muove". L'altro disse: "Č il vento a muoversi". Zenone, il sesto patriarca, stava passando per caso da quelle parti. Egli disse loro: "Non il vento, non la bandiera; è la mente che si muove>". Tartaruga: Ho l'impressione che lei faccia un po' di confusione, Achille. Zenone non è un maestro Zen; tutt'altro. Egli è, in verità, un filosofo greco della città di Elea (che sta a metà strada fra il punto A e il punto B). Nei prossimi secoli sarà famoso per i suoi paradossi sul moto. In uno di questi paradossi la gara podistica che lei e io dovremo affrontare ha il ruolo centrale. Achille: Sono veramente perplesso. Mi ricordo perfettamente che mi ripetevo di continuo i nomi dei sei patriarchi Zen, e dicevo sempre: "Il sesto patriarca è ZZ...enone, il sesto patriarca è ZZ...enone..." (Improvvisamente si leva una leggera, tiepida brezza). Oh, guardi, signorina Tartaruga, com'è bella la bandiera che ondeggia! Che bei giochi di luce vi producono quelle increspature che scivolano lungo il morbido tessuto! Ed anche l'anello che vi è ritagliato ondeggia! Tartaruga: Non sia ridicolo. La bandiera è impossibile, quindi non può ondeggiare. Il vento ondeggia. (Compare Zenone). Zenone: Salve, salve. Che succede? Che c'è di nuovo? Achille: La bandiera si muove. Tartaruga: Č il vento a muoversi. Zenone: Oh amici, amici, ponete fine alle vostre diatribe! Fermate la vostra ira! Cessate le vostre discordie! Poiché io risolverò il problema per voi in un attimo. E poi in un giorno così bello! Achille: Questo è un po' suonato. Tartaruga: No, aspetti, Achille, vediamo che cosa ha da dire. Oh, sconosciuto, deh, fa' noi partecipi del tuo pensiero su questo argomento. Zenone: Con estremo piacere. Non il vento, non la bandiera: nessuno dei due si muove. Né altro si muove. Perché io ho scoperto un grande Teorema che dice: "Il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile". E da questo Teorema consegue un Teorema ancora più grande, il Teorema di Zenone: "Il Moto Unesiste". Achille: "Il Teorema di Zenone"? Č lei, per caso, il filosofo Zenone di Elea? Zenone: Ebbene, sì, Achille. Achille (grattandosi il mento con un'espressione di stupore): Come fa, questo, a sapere il mio nome? Zenone: Posso persuadere voi due ad ascoltarmi sul perché è così? Ho fatto tutta la strada dal punto A fino ad Elea questo pomeriggio, proprio per tentare di trovare qualcuno disposto a prestare un po' di attenzione alla mia inattaccabile argomentazione. Ma qui sono tutti indaffarati, e non hanno tempo. Non potete immaginare quanta amarezza si prova quando si riceve un rifiuto dopo l'altro. Oh, mi dispiace di annoiarvi con i miei guai, ma vorrei chiedervi solo una cosa: sareste disposti voi due a compiacere un vecchio, ridicolo filosofo ascoltandolo per pochi attimi, solo pochi davvero, appena il tempo necessario per esporre le sue eccentriche teorie? Achille: Oh, ma certo! Prego, ci illumini! Io so che parlo per entrambi, poiché la mia amica Tartaruga stava proprio parlando di lei poco fa con grande venerazione e ha accennato in particolare ai suoi paradossi. Zenone: Grazie. Vedete, il mio Maestro, il quinto patriarca, mi ha insegnato che la realtà è una, immutabile ed eterna; tutta la pluralità, il divenire e il moto sono mere illusioni dei sensi. Alcuni si sono presi gioco delle sue idee; ma io mostrerò l'assurdità di questo atteggiamento irriverente. Il mio argomento è molto semplice. Lo illustrerò con due personaggi di mia Invenzione: Achille (il guerriero greco, il più veloce di tutti i mortali) e una Tartaruga. Nel mio racconto, essi vengono convinti da un passante a fare una gara podistica lungo una pista verso una bandiera che sventola nella brezza. Supponiamo che la Tartaruga, visto che è molto più lenta, si prenda un vantaggio, diciamo, di una decina di pertiche. Ora la gara ha inizio. In pochi balzi Achille ha raggiunto il punto di partenza della Tartaruga. Achille: Ah! Zenone: Ed ora la Tartaruga ha solo una pertica di vantaggio su Achille. In un solo attimo Achille percorre questa distanza. Achille: Eh, eh! Zenone: Tuttavia, in quel breve attimo, la Tartaruga è riuscita a fare un piccolo passettino avanti. In un baleno Achille copre anche questa distanza Achille: Hi, hi, hi! Zenone: Ma in quel brevissimo tempo la Tartaruga sarà riuscita ad avanzare ancora un pollice. E così Achille è ancora dietro. Ora capirete che, perché Achille raggiunga la Tartaruga, questo gioco deve essere giocato un numero INFINITO di volte; e quindi Achille non raggiungerà MAI la Tartaruga. Tartaruga: Oh, oh, oh, oh! Achille: Hum... Hum... Hum... Hum... Hum... Questo ragionamento ha qualcosa che non va. E tuttavia non riesco a individuare l'errore. Zenone: Non è un rompicapo? Č il mio paradosso preferito. Tartaruga: Ma scusami, Zenone, il tuo racconto riguarda un altro principio, no? Tu hai appena finito di raccontarci ciò che sarà noto fra molti secoli come "il paradosso di Achille", secondo il quale Achille (ehm!) non raggiungerà mai la Tartaruga; ma la dimostrazione che il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile (e che quindi il Moto Unesiste) è il tuo "paradosso della dicotomia", no? Zenone: Oh, che vergogna! Naturalmente volevo raccontare l'altro paradosso. Quello che dice che per andare da A a B si deve prima percorrere metà della strada e poi un'altra metà di quella che rimane e così via. Il fatto è che entrambi questi paradossi hanno la stessa natura. Francamente, io ho avuto una sola Grande Idea. E l'ho sfruttata in diversi modi. Achille: Giuro che questi ragionamenti hanno un tallone d'Achille; non so bene dove, ma certo non possono essere giusti. Zenone: Lei dubita della validità del mio paradosso? Perché non prova? Vede quella bandiera rossa laggiù, alla fine della pista? Achille: Quella impossibile, basata su una stampa di Escher? Zenone: Esattamente. Che ne dite, lei e la signorina Tartaruga, di fare una corsa fino alla bandiera, concedendo alla signorina T. un equo vantaggio di, bene, non so... Tartaruga: Dieci pertiche? Zenone: Molto bene, dieci pertiche. Achille: Sono pronto. Zenone: Magnifico! Che emozione! Un test empirico del mio Teorema rigorosamente provato! Signorina Tartaruga, vuole spostarsi dieci pertiche più avanti? (La Tartaruga siferma dieci pertiche più avanti nella direzione della bandiera). Siete pronti? Tartaruga ed Achille: Pronti! Zenone: Ai vostri posti! Pronti! Via! | << | < | > | >> |Pagina 161 [ programmare ]La bravura del programmatore consiste essenzialmente nella sua capacità di capire quando due processi sono gli stessi in questo senso esteso, poiché ciò conduce alla "modularizzazione": la scomposizione di un lavoro in sottounità naturali.| << | < | > | >> |Pagina 210 [ logica, Carroll ]Questa piccola discussione mostra le difficoltà che si incontrano quando si cerca di difendere la logica e il ragionamento usando... la logica e il ragionamento. Ad un certo punto si tocca il fondo, e non c'è altra difesa se non urlare "So di avere ragione!". Ancora una volta, ci troviamo di fronte a quella difficoltà che Lewis Carroll ha mostrato così chiaramente nel suo Dialogo: Non si può continuare all'infinito a cercare di giustificare la struttura del proprio ragionamento. Arriva un momento in cui interviene la fede.| << | < | > | >> |Pagina 325 [ programmare ]Programmare in linguaggi diversi è come comporre brani in tonalità diverse, specialmente se si lavora alla tastiera. |
| << | < | > | >> |Riferimenti
| << | < | |
