Autore Gabriele Lolli
Titolo Matematica come narrazione
Edizioneil Mulino, Bologna, 2018, Intersezioni 493 , pag. 218, ill., cop.fle., dim. 12,5x20,5x1,4 cm , Isbn 978-88-15-27422-9
LettoreGiorgia Pezzali, 2018
Classe matematica , logica , storia della scienza












 

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Indice


Premessa                                          7


I.    Grandi racconti                            15

    - Il mulino di Amleto.
    - L'universo degli insiemi.
    - Gruppi e geometrie.
    - Hilbert e l'infinito.
    - Il programma di Langlands


II.   Il senso delle dimostrazioni               41

    - Una sporta di dimostrazioni.
    - Metafore e immagini.
    - Il senso delle storie.
    - Dimostrazioni e storie


III.  Tre indizi                                 97

    - Etimologie.
    - Dimostrazioni dinamiche.
    - La natura degli enti matematici


IV.   La tradizione                             111

    - Platone e Aristotele.
    - Eredi moderni


V.    Il linguaggio matematico                  121

    - Simboli e significati.
    - Le regole del gioco di formule


VI.   Le origini dell'argomentazione            131

    - Da Omero alla retorica.
    - Il chiasmo


VII.  Poesia e logica in Euclide                145

    - Gli Elementi.
    - I Dati

Conclusioni                                     173


Appendice: Notazioni e terminologia             183

Riferimenti bibliografici                       199

Indice dei nomi                                 213


 

 

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Pagina 7

Premessa







                                    Voglio trovare un senso a questa storia...

                                                                   Vasco Rossi



In questo libro parleremo molto di matematica e soprattutto di dimostrazioni. Lo scopo della riflessione qui proposta è quello di mostrare e convincere che il modo naturale di concepire una dimostrazione è costruirla come un racconto, e quello di capirla, di ascoltarla come un racconto. Questo libro è pubblicato in una collana intitolata Raccontare la matematica. Raccontare la matematica non vuol dire parlare dell'ambiente, delle persone che si sono dedicate alla matematica, creandola o insegnandola, delle loro vicende. I matematici «non sanno la storia di ieri» (come i figli dei partigiani nella canzone Oltre il ponte, 1958, di Italo Calvino) e neanche la vita di coloro di cui citano i teoremi. Raccontare non significa neanche fare un riassunto di quello che è ormai acquisito, fuori discussione e inanimato; questa forse è divulgazione. Raccontare la matematica significa esporne il contenuto reale, spiegarla. Di fronte a un dipinto, quante volte sentiamo il bisogno di un esperto che ci faccia capire perché quella che guardiamo è un'opera d'arte, e dopo le spiegazioni la vediamo con altri occhi. E quando si chiede a un matematico che cosa fa, questi non vuole, non può, rispondere elencando i risultati che ha ottenuto, che non sarebbero punto capiti, ma vorrebbe spiegare il senso di quello che fa (si veda Appendice, 1). La difficoltà sta nel fatto che anche il «senso» non è facilmente definibile; quando lo si coglie, lo si riconosce: «Si nemo ex me querat, scio; si quaerenti explicare velim, nescio» («Se nessuno me ne chiede, lo so bene: ma se volessi darne spiegazione a chi me ne chiede, non lo so», a proposito del tempo [Agostino 1930, 1. xi, c. xiv, 2, 445]). E tuttavia il senso degli eventi sta nei racconti che li riferiscono. Possiamo davvero sospettare

che la vera potenza degli eventi storici risieda nei loro racconti; solo grazie al loro passaggio nella lingua essi continuano a verificarsi, e una volta registrati (anche se non altrimenti che in un pettegolezzo) essi diventano curiosamente atemporali, abitando quel presente catalogato che passa per tempo in una biblioteca. [...] un suggerimento di Schopenhauer, credo, [...] che quello che ricordiamo del nostro passato dipende in larga misura da quello che abbiamo fatto dire e ridire alle nostre lingue: il resto è preda dell'oblio dimenticato. Gli storici fanno più storia degli uomini di cui scrivono, e siccome noi rendiamo la nostra esperienza in universali, l'esperienza diventa ripetitiva (perché gli eventi non si ripetono, i resoconti sì) e il tempo si ripiega in confusione come un cane da seguita che ha perso l'usta [Gass 1969].


Senza un racconto gli eventi sono materiali inerti, come ci confortano anche i critici letterari che discutono della fantasia creativa. I soli linguaggi della fisica e della chimica non permettono di parlare di ciò che più interessa nei rapporti sociali, l'io, la coscienza, il contenuto delle informazioni (ne discuteremo nel cap. 2, par. 3).

Anche la matematica, imprigionata nei suoi simboli e nelle sue figure, non dice nulla, né a chi la inventa né a chi la ascolta, se il suo senso non è raccontato in una storia. Alla domanda «cosa è X» o «come si fa a trovare X», dove X è un concetto o la soluzione di un problema, un matematico non ha difficoltà a rispondere direttamente, o con la definizione o con la soluzione, con il procedimento per trovare X. Se qualcuno chiede «qual è il senso di X», o «qual è il senso di trovare X», il matematico risponde come qualunque essere umano che debba spiegare il senso di qualcosa; nel momento stesso in cui apre la bocca si materializza l'avvio del racconto di una storia [Mazur 2012, 183].

L'essere umano non è un animale razionale, ma essenzialmente un animale affabulatore, che si esprime raccontando storie. Come ha fatto l' Homo sapiens a prevalere sulle altre specie di umani che nei tempi preistorici abitavano le varie regioni del mondo, in coabitazione con altre specie similari di primati? Le altre specie umane contemplavano, a quanto per ora si sa, l' Homo neanderthalensis in Europa e Asia occidentale, l' Homo erectus in Asia orientale, l' Homo demisova in Siberia (scoperto solo nel 2010), l' Homo soloensis a Java in Indonesia, l'H omo floresiensis ivi, nell'isola di Flores (una specie di nani), e in Africa l' Homo rudolfensis, l' Homo ergaster e l' Homo sapiens. Tutti con un cervello delle nostre dimensioni, ma i Neanderthal per esempio più robusti dei Sapiens. In un primo contatto tra Neanderthal e Sapiens, quando questi circa 100.000 anni fa uscirono dall'Africa orientale, furono i primi a prevalere e ricacciarli. Tra circa 70.000 e 30.000 anni fa, tutte queste specie sono sparite ed è rimasto solo l' Homo sapiens. Due teorie sono state proposte e ancora in discussione per questo evento decisivo. La teoria dell'incrocio (dell' interbreeding) ipotizza che le specie si sarebbero incrociate e fuse, miscelate (merging), ma contro di essa gioca il fatto che nell'incrocio di specie diverse gli ibridi sono in generale sterili; la teoria del rimpiazzamento constata invece semplicemente che le altre specie sono state spazzate via secondo un modello ben conosciuto per il successivo periodo storico. In realtà i recenti esami del Dna hanno mostrato che gli incroci in parte ci sono stati; qualche fertile accoppiamento ha fatto sì che in Europa e nel Medio Oriente dall'1 al 4% del nostro Dna sia di provenienza neanderthal; circa il 6% del Dna degli aborigeni australiani e dei melanesiani è di origine denisova. Ma questo non significa che ci sia stato un merging, le differenze non erano tali da impedire del tutto accoppiamenti fertili, ma sufficienti a rendere rari tali contatti.

Come fece dunque l' Homo sapiens a eliminare le altre specie? Lo storico Yuval N. Harari (1976-) ipotizza che una mutazione casuale abbia modificato le capacità del cervello dei Sapiens per quel che riguarda il linguaggio provocando in quel periodo una rivoluzione cognitiva. Il linguaggio serve a trasmettere informazioni, ma quelle che sono rilevanti concernono gli esseri umani stessi. Questi sono animali sociali, la cooperazione per loro è essenziale per la sopravvivenza e la riproduzione; più importante che sapere dove sono i leoni e i bisonti è sapere chi è onesto oppure inaffidabile, chi è alleato, chi dorme con chi. Il linguaggio si è evoluto come un modo di fare chiacchiere, dicerie, gossiping (anche Devlin [2000] è arrivato a una simile convinzione, per altra via). I branchi, i clan, i gruppi di animali cooperanti basati sulla familiarità fisica diretta non possono superare piccole dimensioni, sono quasi sconosciuti gruppi superiori a cento individui. Ora l' Homo sapiens ha superato questa soglia:

il segreto sta probabilmente nell'apparire delle storie fantastiche (fiction). [...] Ogni cooperazione su larga scala [...] è radicata in miti comuni che esistono solo nell'immaginazione collettiva delle persone. [...] Nessuna di queste cose [credenze religiose, patria, leggi] esiste al di fuori delle storie che le persone inventano e si raccontano a vicenda [Harari 2014, 30-31].


«La caratteristica veramente unica del nostro linguaggio [...] è la capacità di trasmettere informazioni su cose che non esistono per nulla», leggende, miti, religioni, istituzioni: «la capacità di parlare di finzioni» [ibidem, 27].

Bruce Springsteen (1949-) ha detto che le storie salvano la vita: «Il potere delle storie? Salvarti la vita». Da giovane gli sembrava di annegare. Non riusciva a vivere. «Uno scrittore racconta storie per salvarsi» (al Tribeca Film Festival, New York, in un dialogo con Tom Hanks, 29 aprile 2017).

Per i nostri antenati arcaici, vedremo, le storie spiegavano la vita e le sue condizioni, il fato che li dominava. Non potrebbe un matematico raccontare storie per dare un senso al suo lavoro? Se prova a esprimerne il senso, non può che iniziare una narrazione nella quale si mescolano intenzioni, obiettivi, progetti, desideri, conoscenze, azioni, convenzioni, interpretazioni. Queste sono le passioni che lo guidano.

La matematica, prodotta da un io narrante, usa le forme espressive ereditate dalla tradizione culturale, che sono varie; non diversamente la letteratura spazia dal romanzo al racconto breve alla poesia. I programmi matematici fondazionali del passato, di Klein, di Hilbert o del presente, di Langlands, richiamano i miti costitutivi (cap. 1) e indirizzano la ricerca. Ogni singola dimostrazione poi è la storia di un'avventura, di un viaggio in un paese sconosciuto per aprire una nuova via di collegamento (cap. 2, par. 2). Aperta una strada, la si migliora. La prima volta è magari lunga e accidentata, in seguito si scoprono le scorciatoie; o viceversa la prima è breve ma i matematici preferiscono quelle che salgono sulle vette mostrando ampi paesaggi (cap. 2, par. 1).

Particolarmente pertinente per la matematica è il modello della fiaba (cap. 2, par. 4). Le fiabe sono una guida spirituale dell'umanità, insieme ai racconti fantastici e alla poesia, perché sono un deposito di mondi inventati, mondi in parallelo o intrecciati a quello in cui viviamo, senza temere le palesi incoerenze; i mondi possibili rivelano il modo come gli esseri umani hanno vissuto, pensato, sperato, capito o contestato quello che era intorno a loro.

Come ogni fiaba struttura una storia inserendo in modo originale nuovi personaggi (Raperonzolo, Biancaneve, Cenerentola, ...) nei moduli ricorrenti del genere, così ogni nuovo concetto astratto è il protagonista di una teoria diversa sostenuta dalle tecniche generali del ragionamento matematico; i matematici quando se ne vengono fuori con concetti assurdamente contrari al senso comune potrebbero essere i punti all'infinito, o gli infiniti attuali (cap. 3, par. 3) non hanno alcuna esitazione a raffreddare gli entusiasmi metafisici minimizzando o smitizzando: allora li chiamano «fittizi», o finzioni.

Opinione comune della critica è che «le strutture narrative» entro cui si svolgono le fiabe «esistono per conto loro come figure geometriche o idee platoniche o archetipi astratti» [Calvino 1995, 1694]; non solo, ma le hanno precedute, e forse prefigurate. Dobbiamo crescere anche noi senza fratture dall'età delle fiabe a quella della conoscenza scientifica. Se si studia l'evoluzione della civiltà occidentale, si riconosce che tra la letteratura e la matematica non sussiste solo un'analogia, ma un'influenza diretta: dai miti cosmologici all'epica omerica, alla lirica, alla tragedia greca, alla retorica e alla storia i greci hanno raffinato e perfezionato linguaggio e ragionamento, fino a codificare la logica (cap. 6); le tracce di questo percorso portano diritte alle dimostrazioni di Euclide, dove si vedono all'opera le prime regole logiche la cui ascendenza nella poesia e nella retorica è documentabile e trasparente (cap. 7).

Nell'Appendice sono raccolti, più o meno nell'ordine in cui si incontrano nel testo, richiami ai concetti matematici e ai simboli che, pur essendo alla portata dei lettori di questa collana, potrebbero non essere familiari a tutti.

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Con la scrittura viene meno l'identificazione della mente umana con i movimenti celesti; Platone (ca. 428-ca. 348) è l'ultimo degli arcaici e il primo dei moderni, avendo accettato il mito come pensiero in forma di racconto, sia per esporre le proprie dottrine, sia per superare con esso i limiti dell'indagine razionale: il mito del Demiurgo, della caverna, dei cicli cosmici, dell'età dell'oro, dell'immortalità dell'anima, e altri. Con Aristotele (384-322) la sapienza cosmica è dissolta. «I veri rappresentanti di uno spirito scientifico erano dunque loro, gli arcaici; non noi che crediamo di poterci servire delle forze naturali a nostro piacimento, e dunque partecipiamo d'una mentalità più vicina alla magia», sostiene Calvino.

Se i miti sono storie intrecciate alla pristina scienza astronomica, viceversa le teorie fisiche, soprattutto contemporanee, fanno talvolta venire il dubbio che siano storie. Non sorprende perciò sentire che oggi da parte di fisici che sanno leggere e scrivere si ricorre alla letteratura per colmare lacune e mancanze, o solo insoddisfazioni della spiegazione scientifica:

La scienza [gravità quantistica] mostra come il tempo sparisca dalla struttura fondamentale del mondo. [...] La gravità quantistica a loop dimostra che scrivere una teoria coerente senza spazio e tempo fondamentali e ciò nonostante usarla per fare predizioni qualitative è possibile (Carlo Rovelli 1956-).

Di conseguenza

la condizione umana dell'essere nel tempo non viene analizzata solamente attraverso le leggi scientifiche, ma è esplorata dai concetti filosofici e soprattutto tramite le categorie della narrativa e della poesia che distillano e coagulano, trasfondono e uniscono la comprensione e l'intuizione, il sapere e il sentire [Bricco 2017, inclusa la citazione di Rovelli, in una conversazione con l'autore di L'ordine del tempo, Milano, Adelphi, 2017].

La matematica teorica non sembra un sistema di storie, benché la sua crescita sia scandita da un tempo umano; ma, con un evidente paradosso, giustificato dal modo come i matematici parlano della loro disciplina, nell'opinione comune essa è eterna e fuori dal tempo.




2. L'universo degli insiemi


In matematica, l'unica storia paragonabile alle ambiziose teorie fisiche del tutto è la teoria degli insiemi; in essa si racconta come nasce l'intero universo della matematica. Il grande racconto della teoria degli insiemi è simile a una cosmogonia. Il modo come l'universo si forma ha un che di miracoloso, perché è la strutturazione del nulla: si parte da niente, dall'insieme vuoto , cioè da un insieme che non ha elementi. Con due operazioni di «mettere insieme», la coppia {x, y} e l'unione ∪x, applicate ripetutamente si ottengono tutti gli insiemi ereditariamente finiti. Tra questi si notano insiemi che si possono ordinare in una specie di spina dorsale e ai quali si riconoscono, o si attribuiscono, le proprietà dei numeri naturali: , {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}, ... (si veda Appendice, 5).

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In definitiva si sarà capito che nella storia della formazione dell'universo degli insiemi prevalgono intenti e obiettivi filosofici; come d'altra parte erano i miti. Infatti non si parla di persone reali, nonostante sia dalle loro idee e decisioni che si formano le teorie, anche in questo caso; l'acronimo ZF ha le iniziali di due nomi, ma manca Thoralf Skolem (1887-1963); pochi conoscono la pagina affascinante di Zermelo in cui spiega come ha trovato gli assiomi studiando le dimostrazioni che erano state fatte prima che si pensasse agli assiomi; dispute accese e laceranti hanno accompagnato il riconoscimento, o il rifiuto, di modi di ragionare sull'infinito, per esempio con l'assioma di scelta. Le dispute non sono state fini a sé stesse, ma hanno prodotto sviluppi alternativi, anche se non tutti dello stesso seguito e peso. La fisica parla di materia mossa da leggi alle quali la coscienza è estranea; il suo criterio discriminante è quello delle osservazioni della materia, decisivo rispetto alle eventuali opinioni contrastanti dei fisici. In matematica no, chi ha più filo fa più lana, e vince se la sua costruzione è più ricca di sviluppi e illuminazioni. Per fare entrare il tempo Rovelli suggerisce di rivolgersi alla letteratura, ma il tempo è già presente nel farsi della matematica, e lo è sempre stato, a parte presso Babilonesi, Egiziani ecc. quando questa era solo un ricettario di problemi e soluzioni; le dimostrazioni introducono il movimento (cap. 3, par. 2).




3. Gruppi e geometrie


Nella matematica contemporanea ci sono altre belle storie, che prendono il nome di programmi. Forse il primo a essere chiamato in questo modo è stato il programma di Erlangen (1872) di Felix Klein (1849-1925), che unificò lo studio delle nuove geometrie sulla base delle trasformazioni che conservano le proprietà essenziali delle figure di ciascuna geometria. Klein suggerì il concetto di gruppo per la classificazione delle geometrie.

Un gruppo è una delle strutture più semplici, ha una sola operazione binaria associativa, con un elemento neutro e tale che ogni elemento ha un inverso.

Ai tempi di Klein, le geometrie interessanti erano quella proiettiva, quella affine, quella euclidea, e le non euclidee; non erano invece molti i gruppi noti, sostanzialmente il gruppo delle permutazioni di n lettere, il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare e pochi altri; non era stabilita neanche la terminologia, e tanto meno la teoria.

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4. Hilbert e l'infinito


Una storia avvincente, che riguarda l'infinito, deludente nelle sue conclusioni, o tragica, è quella del programma di David Hilbert (1862-1943), negli anni Venti del XX secolo; questo programma non è come l' Angelus Novus di Paul Klee che avanza con il viso rivolto al passato, quale potrebbe sembrare quello dell'universo degli insiemi; non è neanche esaurito nel presente, come si potrebbe dire di quello di Erlangen: è un vero progetto, volto al futuro, in accordo con la parola «programma».

In realtà la proliferazione dell'uso della parola «programma» ultimamente sembra dovuta a influenze della filosofia della scienza post-neopositivista; Hilbert chiamava il suo «metamatematica», e lo concepiva come la costruzione di una nuova disciplina.

Hilbert raccontava che cosa intendeva fare per ridare certezza alla matematica tormentata dalle discussioni sull'infinito, dalla minaccia delle antinomie, e per difenderla dagli attacchi degli intuizionisti Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) e Hermann Weyl (1868-1927) che volevano rifare la matematica, mutilandola, usando una logica più debole di quella classica e secondo loro più consona al pensiero di un soggetto creativo finito (si veda Appendice, 10).

Hilbert proponeva di: a) formalizzare le teorie dell'infinito, analisi o teoria degli insiemi; b) dimostrare la loro non contraddittorietà in modo progressivo, dall'aritmetica senza quantificatori all'aritmetica di Peano , alla teoria dei numeri reali, alla teoria degli insiemi tutta; c) dimostrarla utilizzando metodi elementari assolutamente affidabili. La dimostrazione di non contraddittorietà con metodi combinatori, finitari li chiamava, avrebbe permesso una conclusione inaspettata, la conservatività delle teorie dell'infinito sulla matematica elementare, cioè il fatto che ogni relazione numerica dimostrata con l'aiuto dell'infinito era vera e già dimostrabile con i metodi elementari. Alla fine della storia la pericolosità dell'infinito non sarebbe più stata un incubo e il concetto sarebbe stato declassato a quello di mero strumento (si veda Lolli [2016a]; ne parliamo ancora nel cap. 3, par. 3).

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Risulta evidente che in questa storia si hanno, man mano che si va avanti, notevoli nuovi esempi di quella che si chiama l'irragionevole efficacia della matematica, la circostanza cioè che concetti e risultati e teorie sviluppate dai matematici senza una finalità applicativa, trovano un posto essenziale nella ricerca fisica; l'esempio classico è quello delle coniche di Apollonio di Perga. In questo caso bisogna riconoscere che l'interazione tra matematici e fisici è forte, al punto che i due tipi di ricercatori diventano indistinguibili. Uno di coloro che hanno e stanno contribuendo di più è Edward Witten (1951-), che è il primo fisico ad aver ricevuto nel 1990 la medaglia Fields per la matematica.

Il lettore può sospettare che parlare di storie a proposito dei programmi descritti sia solo una metafora, e in un certo senso avrebbe ragione. Dai grandi racconti dobbiamo scendere «in più spirabil aere» a considerare storie semplici, meno estese e richiedenti meno prerequisiti, ma dove il senso è forse più nascosto. I programmi hanno una componente storica e sociale che è superficialmente comprensibile. In fisica si pensa che il senso non ci sia bisogno di inventarlo, è la descrizione della natura, è sufficiente distinguere il vero dal falso; la verifica si può fare tuttavia solo per le conseguenze sperimentali delle teorie. Hilbert si ispirava a questa situazione quando suggeriva di preoccuparsi solo della verità delle equazioni numeriche, e ignorare il senso dell'infinito eliminando la questione attraverso una prova di non contraddittorietà. Il fallimento del suo programma ci spinge invece a non mettere tra parentesi la questione ma a continuare ad arrovellarci sull'infinito. Le teorie fisiche in sé sono matematica pura, completamente coinvolte con l'infinito, e sono anch'esse alla ricerca di un senso. Per trovarlo, dobbiamo riflettere sulla nervatura fine e diffusa della matematica, che è rappresentata dalle dimostrazioni.

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3. La natura degli enti matematici


Un terzo tipo di indizi si riconosce riflettendo sulla natura degli enti matematici, come sono pensati dai matematici, non nella filosofia. Una nozione particolarmente pertinente è quella degli «elementi ideali», o fittizi, che occorre frequentemente nella matematica moderna. Gottfried W. Leibniz (1646-1716) è riuscito a inventare un calcolo efficiente che evitava di interrogarsi su cosa fossero i dx e dy, che pure sono infinitesimi. Leibniz ha cercato a più riprese di dare una spiegazione dei metodi del calcolo infinitesimale, prima di tutto a sé stesso; si trovano diverse oscillazioni, tuttavia si può dire che abbia tenuto fermi questi principi: che infiniti e infinitesimi non hanno una realtà metafisica, che sono una utile finzione per abbreviare argomenti e facilitare la scoperta, ma volendo se ne può fare a meno come facevano gli antichi (col metodo di esaustione).

Dopo aver osservato che infinito è solo l'eccessivamente grande, che per esempio i raggi del sole sono considerati paralleli in quanto vengono da molto lontano (si dice «si incontrano all'infinito»), conclude:

[...] da cui segue che se qualcuno non ammette linee infinite e infinitamente piccole al vaglio della metafisica [à la rigueur métaphysique] e come cose reali, questi può servirsene sicuramente come nozioni ideali che abbreviano il ragionamento, simili a quelle che si chiamano radici immaginarie nell'analisi usuale (come per esempio √-2) [...]» (Mémoire de M.G.G. Leibniz touchant son sentiment sur le calcul differéntiel, 1701 [Leibniz 1849-1863, vol. 5, 350]).


A proposito degli immaginari, Leonhard Euler osservava che le radici quadrate dei numeri negativi non possono essere né positive, né negative, né nulle, e quindi sono impossibili, e «sono perciò di solito chiamate quantità immaginarie perché esistono solamente nell'immaginazione». Tuttavia questi numeri si presentano alla nostra mente, ne abbiamo un'idea sufficiente e «nulla impedisce di farne uso e di inserirli nei calcoli» [Euler 1911; trad. ingl. 1984, 42-44].

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2. Le regole del gioco di formule


Nel 1900, nell'introduzione alla presentazione dei problemi matematici, Hilbert ricordava che, ovunque emergano nuovi concetti, dalla gnoseologia, dalla geometria, dalle scienze naturali, il compito della matematica è quello di indagare i principi che stanno alla base di questi concetti.

Ai nuovi concetti spettano necessariamente, anche nuovi segni: noi li scegliamo in modo tale che ci ricordino i fenomeni che avevano motivato la formazione dei nuovi concetti. Così, le figure geometriche sono segni per le immagini dell'intuizione spaziale, e come tali vengono usate da tutti i matematici. Chi è che non usa sempre, insieme alla doppia disuguaglianza a < b < c per tre grandezze a, b, c l'immagine di tre punti che stanno su una retta l'uno dopo l'altro, quali segni geometrici del concetto «tra»? [Hilbert 1900; trad. it. 1978, 150-151].


I segni aritmetici, affermava Hilbert con una potente metafora, sono figure scritte e le figure geometriche sono formule disegnate. E nessun matematico potrebbe rinunciare a queste formule disegnate, così come nel calcolo non si può fare a meno di mettere e togliere le parentesi, o di usare altri segni analitici. Ma

[...] L'uso dei segni geometrici quale rigoroso strumento dimostrativo presuppone la precisa conoscenza e la totale padronanza degli assiomi che stanno alla base di quelle figure; quindi, perché queste figure siano incorporate nel tesoro generale dei segni matematici è necessaria una rigorosa indagine assiomatica del loro contenuto intuitivo.


Nell'analisi di Hilbert, il fatto che i segni non abbiano significato non esclude che abbiano un senso. Il senso dei segni sta nell'analisi logica dell'iniziale intuizione di un nuovo concetto, e si esprime negli assiomi che definiscono matematicamente il concetto. Ogni loro uso è lo svolgimento di una deduzione dal concetto.

In seguito, iniziato il programma, Hilbert prese in considerazione la formalizzazione completa delle teorie superiori, riducendole a insiemi di simboli e stringhe di simboli; per formalizzare le dimostrazioni occorreva il passo ulteriore dell'introduzione dei simboli logici, connettivi e quantificatori, alla stregua dei simboli algebrici. Hilbert non è più tornato sull'argomento del rapporto tra l'intuizione e la regolamentazione assiomatica dei simboli, se non per quel che riguarda i simboli logici. Per un caso di armonia prestabilita, già esisteva qualcosa chiamato calcolo logico: «noi incontriamo il calcolo logico come un progredito lavoro preparatorio. Certamente questo in origine fu creato sotto tutt'altri punti di vista ed è perciò che anche i segni del calcolo logico furono introdotti originariamente solo per la comunicazione». Ora anche i segni logici, come già i segni matematici, possono essere sottoposti alla stessa trasformazione, in modo che anche le formule del calcolo logico in sé stesse non significhino niente, non abbiano un contenuto (dubbio, se parlano dell'infinito) ma siano enunciati ideali. L'analisi assiomatica delle operazioni logiche si traduce in regole e assiomi per i simboli logici.

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VI
Le origini dell'argomentazione





                                            C'era più immaginazione nella testa
                                            di Archimede che in quella di Omero.

                                                                        Voltaire



Un indizio più forte di tutti riguarda proprio i misteriosi inizi della logica nel mondo greco. La letteratura sulle origini della dimostrazione è piuttosto ampia.

In anni recenti molte discussioni sono state catalizzate dalla tesi di rpád Szabó (1913-2001), che sosteneva l'origine della matematica deduttiva nella dialettica della scuola eleatica del V secolo; il suo argomento principale era l'abbondanza delle forme di dimostrazioni indirette nell'opera di Euclide [Szabó 1978]. Le discussioni sono state abbastanza poco istruttive, deviando verso polemiche tra internalisti ed esternalisti, perché la tesi di Szabó sembrava minacciare l'autonomia della matematica.

Una rinomata scuola di antichisti soprattutto francesi ha stabilito invece in maniera convincente che la costituzione dell'insieme delle pratiche che chiamiamo «logica» fu favorita dai bisogni e dalle opportunità fornite dalle nuove istituzioni politiche e dalla partecipazione alle decisioni nella gestione delle città greche nel VI e V secolo a.C. (citiamo solo Vernant [1962], come rappresentante di questa scuola). L'origine della razionalità dalla democrazia si rivela in particolare nella retorica, politica e giuridica; gli studiosi hanno preso in considerazione come riferimento soprattutto la ragione che si manifesta nella filosofia della natura, meno quella della matematica; Apostolos Doxiadis , convinto dell'esistenza di una larga intersezione anche tra retorica e matematica, si è chiesto e ha indagato in un ampio studio la possibilità di un antenato comune [Doxiadis 2012]. Il titolo si ispira al dramma di Tennesse Williams (1911-1983) Un tram che si chiama Desiderio del 1947 (filmato da Elia Kazan nel 1951), partendo dall'osservazione che «Desiderio» è una sineddoche (la parte per il tutto), Desire essendo nell'opera solo una fermata in corrispondenza a una linea che non era sempre chiamata Desire Line ma poteva essere indicata anche come Canal Line o Royal Line, da altre fermate. La dimostrazione non è una stazione, ma una linea lungo la quale esistono diverse fermate, fuor di metafora un lungo processo. Doxiadis è in educata polemica con chi parla di «nascita» o «genesi» della dimostrazione, inducendo l'idea che questa appaia all'improvviso compiuta, come uscita dalla testa di Athena. Se si ha questa impressione, essa è frutto principalmente della nostra ignoranza, perché non esiste una documentazione sufficiente sul modo di fare matematica in Grecia prima della fine del IV secolo a.C.




1. Da Omero alla retorica


Doxiadis presuppone che la disponibilità a narrare, nel senso di rappresentare azioni e stati, sia una capacità cognitiva di base; egli vede nell'antica Grecia un espandersi della manifestazione di tale capacità che muove dalle storie poetiche a quelle storiche all'argomentazione retorica e alla dimostrazione matematica, per un percorso non lineare; la narrativa, per esempio quella storica, influisce direttamente sulla retorica, mentre per arrivare alla matematica attraversa la mediazione delle storie poetiche. Riassumiamo nelle pagine che seguono solo per sommi capi le tappe e i molti temi dell'indagine approfondita e documentata di Doxiadis.

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Conclusioni





                            Viviamo la nostra esistenza sulla base di un errore.

                                                                    Robert Musil



Anche chi, come R.D. Carmichael (1879-1967), crede che matematica e poesia si collochino ai poli opposti del pensiero, rispettivamente quello sistematico e quello non sistematico, pure ammette che una qualità entrambe le produzioni hanno in comune, quella della permanenza millenaria, e poi si meraviglia di una coincidenza storica: «Motivo di grande ispirazione è il fatto che la geometria greca e la tragedia greca sopravvivano nei secoli e mantengano la capacità attiva di suscitare ammirazione e aumentare la felicità» [Carmichael 1930, 244]. Non lo precisa, ma l'accostamento non può che essere suggerito dalla contemporaneità, oltre che dalla stessa localizzazione, dei due fenomeni. Se Carmichael avesse avuto gli strumenti che sono venuti dopo per approfondire l'osservazione sarebbe forse stato indotto a modificare il suo giudizio.

Le affinità tra poesia e matematica, al di là delle antiche comuni origini, sono un tema ricorrente tra i contemporanei, anche tra matematici professionisti. Una lezione derivata dalla poesia è messa in evidenza da Marguerite Lehr (1898-1987), ed è la necessità, anche per la matematica, di un linguaggio metaforico: «Matematica e poesia sono le due facce della stessa medaglia. Entrambe sono un tentativo di discernere struttura [pattern] perché si rifiuta l'idea di un universo caotico e di sviluppare un linguaggio metaforico, altrimenti si annega nel gergo [jargon]» [Kenschaft 1988]. Un gergo può essere usato per facilitare la comunicazione entro gruppi omogenei, ma anche per nascondere ed escludere. Visto il contesto della frase, nel caso della matematica possiamo intendere con «gergo» non solo «tecnicismi», ma un «linguaggio incomprensibile». Un linguaggio metaforico non può che essere un linguaggio di storie.

Per altri l'elemento comune è la concisione:

Voltaire ha osservato una volta che «un merito della poesia nessuno negherà; dice di più con meno parole che la prosa»; e perché non possiamo continuare la giusta osservazione con: «un merito della matematica nessuno negherà; dice di più con meno parole che qualunque altra scienza al mondo»? ( David Eugene Smith (1860-1944), citato da Schmalz [1993, 132]).


Analogamente Lipman Bers (1914-1993) pensa che: «la matematica sia molto simile alla poesia. Quello che fa buona una poesia, una grande poesia, è che in essa c'è una ingente quantità di pensiero espressa in poche parole. Le formule sono come le poesie». Bers, affascinato dalle poesie di Pindaro fattegli conoscere dal figlio, gli chiese se esistesse una buona traduzione, e ottenne come risposta: «Non esiste una buona traduzione. O leggi in greco, o lascia perdere». Convinto, Bers aggiunge: «Per la matematica, qualcosa di simile sembra vero. O sai usare i simboli, oppure lascia perdere» [Albers e Reid 1987]. Il problema dell'espressione mediante simboli è stata discussa nel capitolo 5. La qualità della concisione, o compressione, è discussa in Lolli [2016b].

Per lo meno la bellezza della matematica, sempre elusiva e difficile da definire, e ancor più quella del ragionamento matematico, è decisamente confermata se alla sua origine, all'origine della matematica deduttiva, possiamo mettere forme espressive che hanno la cadenza, il ritmo, la capacità di catturare l'attenzione e farsi seguire come il pifferaio magico, che hanno i versi organizzati mediante X e RC, e sono state sperimentate nella poesia: la bellezza che incatena.

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Il metodo di Darwin era l'osservazione, attenta, paziente, amorevole, si direbbe la stessa degli arcaici che osservavano il cielo; prudente nelle generalizzazioni e nelle ipotesi, con pochi errori. Le qualità che gli hanno dato il successo come uomo di scienza, a parte l'amore per la scienza al primo posto, sono state così riassunte da lui stesso: «un'infinita pazienza nel riflettere lungamente su ogni argomento, gran diligenza nell'osservare e raccogliere dati di fatto, e una certa dose d'immaginazione e di buon senso». Quasi sempre è successo che abbia dovuto abbandonare o modificare la prima formulazione di un'ipotesi, perché ha sempre cercato di mantenersi «libero da idee preconcette, in modo da poter rinunciare a qualsiasi ipotesi, anche se molto amata». Qualche critico ha detto che era un buon osservatore ma con poca capacità di ragionamento, e a quest'accusa Darwin si è ribellato «perché l' Origine delle specie è tutta una lunga argomentazione, dall'inizio alla fine, che ha convinto non pochi uomini intelligenti» [Darwin 1964, 124-126].

Verso la fine dell'autobiografia ha confessato che «la mia mente è cambiata negli ultimi venti o trenta anni»; aveva perso quasi completamente il gusto per la pittura e la musica, Shakespeare gli risultava insopportabilmente pesante. Eppure fino ai trent'anni trovava gran piacere nella lettura dei poeti più diversi, e fin da ragazzo amava moltissimo Shakespeare.

Questa strana e deplorevole perdita di un raffinato senso estetico è davvero singolare. [...] La mia mente sembra diventata una specie di macchina per estrarre delle leggi generali da una vasta raccolta di fatti, ma non riesco a capire perché ciò debba aver causato l'atrofia di quella parte di cervello da cui dipende il gusto estetico [ibidem, 120-121].


Noi lo capiamo meglio, e abbiamo seri motivi di preoccupazione, adesso che siamo al cospetto della big science, e al lavoro quasi esclusivamente rivolto, in molti campi, all'analisi dei big data. Le preoccupazioni non riguardano la possibile decadenza individuale dell'amore per le arti, ma la mutazione in corso della scienza. Gli scienziati ora stanno diventando esperti che interpretano il mondo naturale e ai quali è affidato il compito di trasformare la conoscenza in potere e profitto. Le loro qualità morali non sono forse diverse da quelle dei loro predecessori (sostiene Steven Shapin (1943-), in Shapin [2008]. Ma si veda anche Pacchioni [2017]). Ma la pianificazione della produzione di verità, la spersonalizzazione degli strumenti di produzione scientifica sembrano portare all'eliminazione dell'equazione personale nella scienza e nell'industria. Gli scienziati sembrano soprattutto amministratori di grandi budget [Weinberg 1967]. Resta da sperare nella matematica pura.

Albert Einstein (1879-1955) non aveva dati da inserire in equazioni quando capì che la gravità faceva incurvare lo spazio [Frenkel 2013, 2]. Non esistevano dati del genere. Nessuno poteva immaginare che lo spazio è curvo, e cosa vuol dire, al massimo si visualizzano superfici (spazi di dimensione 2) nello spazio. La difficoltà era addirittura maggiore di quella incontrata da Galileo Galilei nel sostenere la realtà del moto diurno e annuo della terra.

[...]

Critica di osservazioni passive e scelta di altre osservazioni guidate dalla matematica sono state la trama del discorso di Galileo, ma Einstein non aveva osservazioni da proporre o criticare. La curvatura dello spazio non manifestava i suoi effetti in nessuna esperienza quotidiana. Doveva per forza ascoltare solo ciò che il discorso gli dittava. L'immaginazione di Einstein era sostenuta tuttavia da potenti concetti matematici che permettevano di concepire spazi liberi dai vincoli di quello euclideo. Per avere una geometria sulle varietà introdotte da Bernhard Riemann (1826-1866) è sufficiente che sia definita una funzione distanza per ogni coppia di punti. Sicché Einstein riesce a concludere il suo discorso, «il giunge, e tiene un premio ch'era follia sperar». Si spiega così che lui fisico sia arrivato a dichiarare che: «il principio creativo [della scienza] si trova nella matematica» [Einstein 2011, 385]. Si capisce anche perché scienziati come Frenkel parlino delle loro ricerche come di un'esplorazione al «cuore della realtà nascosta», non diversamente dall'esplorazione dei segreti della natura nel Cinquecento, quando al profano sembrano fantasie di universi deliranti.

Forse solo in matematica si incontra la simbiosi della necessità con i dilemmi di Amleto, che era la caratteristica del mito arcaico. Hilbert ha dato voce a un sentimento diffuso e inevitabile quando ha affermato:

La matematica non è un gioco i cui obiettivi siano determinati da regole arbitrariamente stipulate. Piuttosto, è un sistema concettuale che possiede una necessità interna che può essere solo così e non diversa, in alcun modo [Hilbert 1992, 14].

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