| << |  <  |  >  | >> |

Indice

Presentazione                                                    7
Introduzione                                                     9
Note per gli insegnanti                                         11
Ringraziamenti                                                  12

Problemi

Criptaritmetica: da problema 1 a 30                             15
Ordine e conteggio: da problema 31 a 37                         23
Calcolo combinatorio: da problema 38 a 47                       27
Grafi euleriani e calcolo combinatorio: da problema 48 a 60     31
Magia matematica: da problema 61 a 76                           37
Logica: paradossi e analisi di situazioni: da problema 77 a 96  43
Algebra: da problema 97 a 123                                   51
Infiniti: da problema 124 a problema 127                        67


Problemi "Gara Matematica Città di Padova"

Edizione 2003: problema 4,                                      22
Edizione 1986: problema 3,                                      27
Edizione 1992: problema 1,                                      28
Edizione 1996: problema 1,                                      30
Edizione 1999: problema 1,                                      30
Edizione 1993: problema 2,                                      41
Edizione 1987: problema 5,                                      54
Edizione 1988: problema 2,                                      56
Edizione 1990: problema 7,                                      56
Edizione 1986: problema 4,                                      60
Edizione 1987: problema 3,                                      60
Edizione 1993: problema 4,                                      61
Edizione 1987: problema 1,                                      63
Edizione 1991: problema 2,                                      63
Edizione 1993: problema 6,                                      63
Edizione 2000: problema 3,                                      64
Edizione 1986: problema 8,                                      64
Edizione 1997: problema 3,                                      64
Edizione 2000: problema 2,                                      65


Quesiti storici

Prima Olimpiade nazionale (Ungheria, 1894): problema 1,         66
Prima Olimpiade internazionale (Romania, 1959): problema 1,     66

Soluzioni                                                       69


Nozioni utili per la risoluzione dei problemi                  249


Bibliografia                                                   255

 

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 9

I matematici sono extraterrestri?

Da recenti indagini il dubbio non appare infondato. L'invasione potrebbe essere avvenuta all'incirca 5000 anni fa con uno sbarco a Stonehenge da una astronave extragalattica. Rimasti nascosti per secoli in piccoli eremi sparsi sulle montagne, pare si stiano diffondendo con progressione esponenziale su tutto il pianeta, proprio in questo secolo.

Contrariamente a luoghi comuni molto radicati sull'immagine della matematica, sta emergendo sempre più chiaramente in Italia e nel mondo, non ultimi i paesi in via di sviluppo, questo popolo sommerso e poco incline allo spettacolarismo che si diverte e gareggia con la matematica, in varie forme, e a diverse età, muovendosi con naturalezza e soddisfazione in un terreno ritenuto da altri contro natura. Forse questo amore per la matematica è una nostalgia inconscia verso il proprio luogo di origine, un "ricordo" platonico di un superiore mondo etereo la cui materia prima è il pensiero.

È così che in tutto il mondo si moltiplicano olimpiadi matematiche locali, regionali, nazionali, internazionali, in forma individuale o a squadre, addirittura tornei tra città di continenti diversi, in una battaglia senza frontiere di tutti contro tutti. È una valanga inarrestabile! Anche l'Italia, pur tardivamente e tra molte reticenze, è stata alla fine contagiata, riscoprendo forse un'antica primogenitura iniziata con le disfide matematiche, onorate da personaggi famosi quali il Fibonacci e successivamente il Tartaglia.

Di più, si va facendo largo l'idea, che questi ludi matematici non siano una stravaganza da mattacchioni, bensì un humus piuttosto fertile che favorisca lo sviluppo dell'intera pianta. Ben l'aveva capito Johan Huizinga nella sua riflessione sull' homo ludens ma pochi l'hanno ascoltato con una attenzione superiore a quella dovuta d'ufficio.

E non si deve nemmeno pensare che la matematica da gioco, da gara, sia da salotto, di serie B, perché lontana dai suoi confini più strettamente specialistici. Ci sono persone che hanno vissuto entrambi questi momenti. Uno per tutti: Edward Teller, padre della bomba atomica americana e vincitore, da studente liceale, dell'Olimpiade ungherese del 1925.

Chi corregge gli elaborati degli studenti partecipanti alle diverse olimpiadi scopre una ricchezza e fecondità di approcci veramente incredibile e letteralmente imprevedibile, creando di fatto "nuovo sapere", tanto che ogni anno il livello di difficoltà di queste gare si fa sempre inesorabilmente più alto.

In non pochi casi gli studenti hanno battuto per originalità di soluzione i matematici che avevano proposto o discusso il problema stesso. D'altra parte un numero crescente di matematici nel mondo si dedica alle gare con sempre maggiore entusiasmo e convinzione.

Questo libro, pur nella sua semplicità, è animato da questo spirito e costituisce un'occasione e un invito a cimentarsi e a scoprire sorgenti di creatività e capacità di sintesi forse ancora latenti o non sufficientemente emerse.

Le problematiche proposte non scavalcano le conoscenze del biennio della scuola media superiore e attingono direttamente alle nozioni più elementari dell'aritmetica, tanto che possono offrire spunti anche per la scuola elementare. I problemi comunque possono trovare interesse oltre che per gli appassionati anche per gli studenti che all'inizio della 2a superiore, o del triennio, vogliono operare una prima sintesi e una prima verifica. Agli insegnanti possono offrire spunti didattici e materiale di lavoro.

In ogni caso, al di là delle possibili collocazioni può aiutare a comprendere da quale "pianeta" siamo venuti.

Buona fortuna.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 15

PROBLEMA 1 Brindisi di Natale

Durante il pranzo di Natale 10 persone brindano e ognuno tocca il bicchiere di tutti gli altri. Quanti cin-cin vengono fatti? Quale forma geometrica, in senso pitagorico, avrà il numero totale dei brindisi?

PROBLEMA 2 Ragnatele

Dati 7 punti nel piano, a tre a tre non allineati, quanti segmenti congiungenti i singoli punti si possono tracciare?

PROBLEMA 3 Accoppiamenti

A una festa partecipano 8 ragazzi e altrettante ragazze. Se ogni ragazzo balla con tutte le ragazze, quante coppie diverse si possono formare?

PROBLEMA 4 Torneo

A un torneo partecipano 10 squadre. Quante partite vengono disputate, se ogni squadra incontra una sola volta tutte le altre?

PROBLEMA 5 Somme continue

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 99?

PROBLEMA 6 Una somma speciale

Quant'è la somma di tutti i numeri dispari fino a 999?

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 43

PROBLEMA 77 Indagine 1

Quattro uomini sono indiziati di omicidio. Alle domande della polizia rispondono:

Antonio: "Ho visto Carlo e Dario sul luogo del delitto, quindi uno di loro è l'assassino!"

Bernardo: "Non sono stato io!"

Carlo: "È stato Dario, l'ho visto sparare!"

Dario: "Giuro che è stato Bernardo, l'ho visto mentre fuggiva!"

Se uno solo di loro ha mentito, chi è veramente il colpevole?

PROBLEMA 78 Indagine 2

Quattro uomini sono indiziati di omicidio. Alle domande della polizia rispondono:

Antonio: "Sono stati certamente Bernardo o Dario, odiavano molto la vittima".

Bernardo: "Sono stati certamente Antonio o Carlo, l'avevano minacciato spesso".

Carlo: "Giuro che non sono stato io".

Dario: "È stato Antonio, l'ho visto con i miei occhi".

Se uno solo di essi ha mentito, chi è il colpevole? Se invece uno solo ha detto la verità, chi è il colpevole?

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 51

PROBLEMA 97 Vette numeriche 1

Qual è il massimo numero costruibile mediante un'espressione aritmetica nella quale compaiono tutti e solo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, ciascuno una sola volta?

PROBLEMA 98 Vette numeriche 2

Trovare i tre numeri più grandi costruibili mediante un'espressione aritmetica, nella quale compaiano tutti e solo i numeri da 1 a 7 ciascuno una sola volta.

PROBLEMA 99 Espressioni nascoste 1

Scrivere un'espressione aritmetica, nella quale compaiano tutti e solo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ciascuno una sola volta e che dia per risultato 244.

PROBLEMA 100 Espressioni nascoste 2

Scrivere un'espressione aritmetica, nella quale compaiano tutti e solo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, ciascuno una sola volta e che dia per risultato 902 oppure il numero che più gli si avvicina.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 67

PROBLEMA 124 Insiemi infiniti ma... non tanto!

Premessa: Un insieme infinito si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali. (Come si dice: è equipotente a N. )

Abbiamo un numero infinito numerabile di treni, ogni treno ha un numero infinito numerabile di vagoni, ogni vagone ha un numero infinito numerabile di passeggeri.

È possibile assegnare un numero naturale distinto a ogni passeggero di tutti questi treni, senza utilizzare tutti i numeri naturali e lasciandone fuori un sottoinsieme infinito?

PROBLEMA 125 Un pianeta fantastico

Un pianeta ha un numero infinito numerabile di isole, ogni isola ha un numero infinito numerabile di alberi, ogni albero ha un numero infito numerabile di rami, ogni ramo ha un numero infinito numerabile di foglie, su ogni foglia ci sono un numero infinito numerabile di coccinelle.

L'insieme di tutte le coccinelle del pianeta è infinito numerabile?

PROBLEMA 126 Pur essendo fitti...

L'insieme dei numeri razionali assoluti (tutte le frazioni maggiori di zero) è numerabile?

| << |  <  |