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Indice

Prefazione                                                xi

Introduzione: alcune idee fondamentali                     1

1   Relazioni                                              1
2   Funzioni                                               2
3   Ordinamenti                                            3
4   Estremo inferiore ed estremo superiore                 4
5   Massimi e minimi di funzioni                           5

Capitolo 1  Sommare e moltiplicare: gli spazi vettoriali   9

Introduzione                                               9

1.1   Spazi vettoriali: definizioni ed esempi             10
1.1.1 La definizione di spazio vettoriale                 10
1.1.2 Le n-uple ordinate di numeri reali (R^n)            11
1.1.3 Le matrici di numeri reali di ordine (n x m) (M^nxm)13
1.1.4 Spazi vettoriali reali composti da funzioni         18

1.2   Basi e dimensione di uno spazio vettoriale          19
1.2.1 Combinazioni lineari, dipendenza lineare e basi     19
1.2.2 Dimensione di uno spazio vettoriale                 21

1.3   Il prodotto scalare e il prodotto matriciale        23
1.3.1 Il prodotto tra matrici                             23
1.3.2 Il prodotto tra matrici partizionate                25
1.3.3 La matrice inversa                                  26

1.4   Il prodotto matriciale come trasformazione lineare  28

1.5   Determinanti                                        32
1.5.1 Determinanti: preliminari e intuizioni geometriche  32
1.5.2 Calcolo del determinante di matrici 2 x 2 e 3 x 3   34
1.5.3 Minori e cofattori                                  36
1.5.4 Proprietà dei determinanti                          37
1.5.5 Calcolo della matrice inversa                       37

1.6   Sistemi di equazioni lineari                        38
1.6.1 Sistemi la cui matrice dei coefficienti ha rango
      pieno                                               39
1.6.2 Sistemi la cui matrice dei coefficienti non ha
      rango pieno                                         42
1.6.3 Il calcolo della soluzione e la regola di Cramer    44

1.7   L'equazione caratteristica                          45
1.7.1 Definizioni                                         45
1.7.2 Proprietà degli autovalori e autovettori            47

1.8   Forme quadratiche                                   50

Parole chiave                                             52

Capitolo 2  Distanze e variazioni: gli spazi metrici      55

Introduzione                                              55

2.1   Spazi metrici e spazi dotati di norma               56

2.2   Continuità e convergenza                            60

2.3   Insiemi chiusi e aperti                             62

2.4   L'assioma di continuità nella teoria dell'utilità   66

2.5   Differenziazione                                    68
2.5.1 Derivate e differenziali di una funzione di una
      sola variabile: una breve rassegna                  68
2.5.2 Funzioni a più variabili e derivate parziali        71
2.5.3 La formula di Taylor                                75

2.6   Derivate generalizzate                              78
2.6.1 Derivate direzionali, di Gateaux e di Fréchet       78
2.6.2 Derivate di funzioni a valore vettoriale            81

2.7   Il teorema della funzione implicita e la statica
      comparata                                           82
2.8   Applicazioni della statica comparata:
      i modelli macroeconomici elementari                 88
2.8.1 Il modello IS-LM                                    88
2.8.2 Un modello "classico"                               91

Parole chiave                                             93

Capitolo 3  La forma delle funzioni: convessità,
            concavità e omogeneità                        95

Introduzione                                              95

3.1   Insiemi convessi                                    96
3.1.1 Combinazioni convesse: definizione e
      interpretazione geometrica                          96
3.1.2 Insiemi convessi                                    97

3.2   Funzioni concave e convesse                        101
3.2.1 Funzioni concave                                   101
3.2.2 Funzioni convesse                                  103

3.3   Funzioni quasi-concave e quasi-convesse            104
3.3.1 Definizioni e proprietà                            104
3.3.2 Quasi-convessità                                   105

3.4   Funzioni omogenee e omotetiche                     106

3.5   Applicazioni microeconomiche                       109
3.5.1 Proprietà cardinali e proprietà ordinali di una
      funzione di utilità                                109
3.5.2 Avversione al rischio                              110
3.5.3 Funzioni di supporto                               113
3.5.4 Un esempio di quasi-convessità                     115

Parole chiave                                            116

Capitolo 4  Equazioni e sistemi dinamici                 117

Introduzione                                             117

4.1   Equazioni differenziali                            118
4.1.1 Definizioni                                        118
4.1.2 Soluzioni                                          120
4.1.3 Alcune equazioni differenziali notevoli            122
4.1.4 Stabilità                                          127

4.2   Metodi diagrammatici                               128
4.2.1 Curve di soluzione                                 129
4.2.2 Diagrannni di fase                                 131
4.2.3 Il modello di Solow                                132

4.3   Sistemi di equazioni differenziali                 136
4.3.1 Esistenza e unicità                                137
4.3.2 Stabilità                                          137

4.4   Sistemi lineari di equazioni differenziali         138
4.4.1 Definizione e classificazione                      138
4.4.2 Soluzioni generali e soluzioni particolari
      nei sistemi omogenei                               140
4.4.3 La soluzione dei sistemi lineari omogenei
      a coefficienti costanti                            141
4.4.4 Le equazioni differenziali lineari del secondo
      ordine                                             145

4.5   Sistemi lineari e stabilità                        147
4.5.1 Radici reali distinte con lo stesso segno
      (nodi stabili e instabili)                         147
4.5.2 Radici reali distinte con segni eterogenei
      (punti di sella)                                   149
4.5.3 Radici complesse (fuochi e centri)                 150
4.5.4 Le radici ripetute (nodi impropri)                 154
4.5.5 La condizione di Routh-Hurwitz                     155
4.5.6 Un'applicazione: la dinamica del modello IS-LM     156

4.6   Sistemi non lineari                                158
4.6.1 Linearizzazione                                    158
4.6.2 Diagrammi di fase                                  160

4.7   Un'applicazione economica: il diagramma di fase
      nel modello di Ramsey                              168

4.8   Equazioni e sistemi di equazioni alle differenze   173

4.9   Sistemi di equazioni lineari alle differenze       174
4.9.1 Preliminari                                        174
4.9.2 Soluzioni                                          175
4.9.3 Stabilità                                          177

4.10   Metodi qualitativi e linearizzazione              179
4.10.1 Problemi a equazione singola                      179
4.10.2 Sistemi di due equazioni                          181
4.10.3 Linearizzazione                                   181

Parole chiave                                            182

Capitolo 5  La massimizzazione libera e il calcolo
            delle variazioni                             185

Introduzione                                             185

5.1   Definizioni                                        186
5.1.1 Formulazione del problema e terminologia           186
5.1.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti     189

5.2   Ottimizzazione libera in problemi a dimensione
      finita                                             189
5.2.1 Condizioni necessarie del primo ordine             190
5.2.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti
      del secondo ordine                                 194

5.3   Estensioni e applicazioni dell'ottimizzazione
      libera                                             197
5.3.1 Statica comparata in un problema di
      ottimizzazione libera                              197
5.3.2 Il lemma di Shephard                               198

5.4   Ottimizzazione in spazi a dimensione infinita      199
5.4.1 La prospettiva generale                            200
5.4.2 Una condizione necessaria                          201

5.5   Il più semplice problema di calcolo delle
      variazioni                                         203
5.5.1 Formulazione e ipotesi                             203
5.5.2 La condizione di Eulero                            205

5.6   Altre condizioni necessarie e condizioni
      sufficienti                                        210

5.7   Condizioni terminali                               211
5.7.1 Condizioni necessarie e condizioni terminali       211
5.7.2 Valori terminali fissi e liberi                    214

5.8   Orizzonte di programmazione infinito               217

5.9   Un'estensione del dominio del funzionale obiettivo 220

5.10   Due modelli di risparmio ottimale                 221
5.10.1 Il modello di Ramsey                              221
5.10.2 Il modello AK                                     224

Parole chiave                                            228

Capitolo 6  La programmazione vincolata                  229

Introduzione                                             229

6.1   Una prospettiva generale sui problemi vincolati    230
6.1.1 I problemi principali                              231
6.1.2 Risolubilità locale                                232
6.1.3 Una condizione necessaria                          233

6.2   Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange           236
6.2.1 Le condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange              236
6.2.2 Una prospettiva d'insieme sul metodo dei
      moltiplicatori di Lagrange                         238

6.3   Problemi vincolati da diseguaglianze               240
6.3.1 Le condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange in un
      problema vincolato solo da diseguaglianze          240
6.3.2 Qualificazioni sui vincoli                         242
6.3.3 Considerazioni sulle complementary slackness
      conditions                                         243

6.4   Problemi vincolati da eguaglianze                  245

6.5   Osservazioni conclusive sulle condizioni
      del primo ordine                                   246
6.5.1 Mancanza di risolubilità                           246
6.5.2 La condizione generalizzata di AHU                 247

6.6   Condizioni necessarie del secondo ordine e
      condizioni sufficienti                             248

6.7   Programmazione concava e quasi-concava             249
6.7.1 Programmazione concava                             250
6.7.2 Programmazione quasi-concava                       252

6.8   Statica comparata nei problemi di ottimizzazione
      vincolata                                          252
6.8.1 Differenziazione delle condizioni del primo ordine 253
6.8.2 Funzioni valore                                    255
6.8.3 Il teorema dell'inviluppo                          257

6.9   La teoria del consumatore                          258
6.9.1 Massimizzazione dell'utilità                       258
6.9.2 Statica comparata del problema di massimizzazione
      dell'utilità                                       260
6.9.3 Il lemma di Roy                                    262
6.9.4 Minimizzazione della spesa                         262
6.9.5 Statica comparata del problema di minimizzazione
      della spesa                                        263
6.9.6 Relazione tra i problemi di massimizzazione
      dell'utilità e minimizzazione della spesa          265

6.10   Una rivisitazione del modello di Ramsey
       con il metodo di Lagrange                         268
6.10.1 Il modello di risparmio ottimale con tempo
       discreto                                          268
6.10.2 I moltiplicatori di Lagrange in un modello
       con tempo continuo                                272

Parole chiave                                            274

Capitolo 7  La programmazione in spazi
            a dimensione infinita                        275

Introduzione                                             275

7.1   I problemi di massimizzazione a dimensione infinita:
      una condizione necessaria                          276
7.1.1 Enunciato e generalità                             276
7.1.2 Spazi e coni duali                                 278
7.1.3 Il teorema di Karush-Kuhn-Tucker                   279

7.2   Il problema di controllo ottimo                    281
7.2.1 Enunciato e preliminari                            281
7.2.2 L'applicazione del teorema KKT al problema
      di controllo ottimo                                283
7.2.3 Il problema più semplice di calcolo
      delle variazioni in una nuova veste                289
7.2.4 Più variabili di stato e di controllo              290
7.2.5 La funzione hamiltoniana                           290

7.3   Condizioni terminali alternative nel problema
      di controllo ottimo                                294
7.3.1 Condizioni terminali alternative                   294
7.3.2 Validità delle condizioni di Karush-Kuhn-Tucker    294
7.3.3 Altre condizioni necessarie                        296

7.4   Problemi con orizzonte infinito                    296
7.4.1 Condizioni necessarie                              298
7.4.2 Condizioni terminali                               299
7.4.3 Condizioni sufficienti                             301

7.5   Una rivisitazione del modello di Ramsey e
      del modello AK                                     302
7.5.1 Il modello di Ramsey                               303
7.5.2 Il modello AK                                      307

7.6   Il modello di Lucas                                308

7.7   Altri vincoli                                      312
7.7.1 Vincolo in forma di integrale                      312
7.7.2 Vincoli in forma di diseguaglianza                 314

7.8   Un problema con vincolo in forma di integrale e
      di diseguaglianza: l'estrazione ottimale
      di una risorsa naturale                            317

7.9   Diseguaglianze in un problema di controllo ottimo  318
7.9.1 Vincoli in forma di diseguaglianza sulle variabili
      di stato e di controllo                            318
7.9.2 Un modello di crescita "sovietico"                 319

7.10   Incentivi ottimali                                326
7.10.1 Il problema economico e la soluzione con
       infonnazione simmetrica                           327
7.10.2 La soluzione con informazione asimmetrica         330

Parole chiave                                            335

Appendice A  Prova della proposizione 1.2.4              337
Appendice B  La definizione di determinante              339
Appendice C  Differenziazione in spazi di funzioni       341
Appendice D  Teorema di separazione                      347
Appendice E  Prova della proposizione 5.5.2
             (lemma di Dubois-Rémond)                    351
Appendice F  Prova della proposizione 6.3.3              353
Appendice G  La definizione di lim inf                   355
Soluzioni agli esercizi                                  357

Suggerimenti bibliografici e bibliografia                431

 

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Pagina XI

Come spesso avviene nel caso dei manuali, questo libro si è andato formando progressivamente a partire da appunti predisposti per cicli di lezioni. Nel mio caso, si è trattato delle lezioni tenute annualmente, a partire dal 1995, presso due corsi master postuniversitari: il MEC (Master in Economics) presso l'Università Commerciale "L. Bocconi" e il MEDEA (Master in Economia dell'Energia e dell'Ambiente) presso la Scuola Superiore "Enrico Mattei" - ENI.

Inizialmente, con quelle lezioni mi proponevo di fornire, nelle prime fasi del programma master, niente più di alcuni strumenti matematici indispensabili per affrontare un corso di studi economici avanzati, con qualche cenno alle applicazioni economiche. Col passare del tempo e insieme ai miei colleghi, mi sono reso conto, da un lato, che una ideale lista degli strumenti indispensabili era più lunga di quanto pensassi; dall'altro, che nell' "indispensabile" non rientrava soltanto una serie di tecniche e di "ricette" da applicare meccanicamente alla soluzione di questo o quel problema, ma anche una certa familiarità con il ragionamento astratto, con la definizione rigorosa dei concetti, con la dimostrazione formale di proposizioni matematiche. Inoltre, in classi felicemente eterogenee, in cui laureati in economia si affiancano a ingegneri, fisici, laureati in altre scienze sociali o anche in materie puramente umanistiche, le applicazioni economiche hanno la funzione di motivare sia coloro che già conoscono bene la matematica, mostrando ciò che per essi può rivelarsi un nuovo e stimolante campo di applicazione, sia coloro che devono invece sforzarsi di colmare delle lacune in campo matematico, illustrando almeno parzialmente lo scopo di questo importante e spesso faticoso investimento intellettuale.

È sotto questi stimoli che il testo è stato progressivamente elaborato; e se ormai gli argomenti trattati in questo libro eccedono certamente quelli che si possono ragionevolmente coprire in un unico corso introduttivo come quelli cui accennavo, la finalità perseguita rimane sostanzialmente la stessa: fornire gli strumenti indispensabili per chi voglia affrontare lo studio dell'economia a livello progredito, con un'attenzione costante alle interpretazioni economiche e cercando il più possibile di non appiattire la trattazione matematica al livello dell'applicazione meccanica di formule e tecniche.

Nel quadro del nuovo ordinamento universitario, questo libro è destinato essenzialmente all'utilizzo appena descritto, nell'ambito dei corsi di laurea specialistica e dei master universitari di primo livello in materie economiche. In questi casi rimane infatti necessario omogeneizzare e consolidare il patrimonio di conoscenze matematiche di chi si accinge a diventare uno specialista in scienze economiche, sia come supporto ad un corso di matematica per economisti che come companion book per corsi specialistici nei vari campi dell'economia.

Quali strumenti matematici sono dunque indispensabili per intraprendere lo studio dell'economia a livello specialistico, secondo questo libro? La risposta è nel fatto che gran parte dei problemi economici incorporano, in una forma o nell'altra, un problema decisionale. Lo strumento matematico indispensabile è costituito quindi dalla teoria e dalle tecniche dell'ottimizzazione. Naturalmente, l'impostazione e la soluzione di un problema di programmazione matematica richiedono un insieme di conoscenze preliminari e strumentali, relative ad altri campi della matematica, le quali possono peraltro avere a loro volta applicazioni economiche autonome. Il libro è dunque costruito come segue: dei sette capitoli che lo compongono, i capitoli 5, 6 e 7 affrontano i problemi di ottimizzazione, con livelli crescenti di difficoltà e di generalità. I capitoli da 1 a 4 forniscono invece gli strumenti preliminari e di supporto: nel capitolo 1 nozioni di algebra lineare; nel capitolo 2 i concetti di continuità e differenziazione; nel capitolo 3 i concetti di convessità; nel capitolo 4 le equazioni e i sistemi di equazioni dinamiche. Il lettore (o il docente) trascurerà i temi la cui conoscenza può dare per scontata, o che non ritiene utili per i propri scopi (ad esempio il capitolo 4 se è interessato solo alla programmazione matematica "statica"). I capitoli da 1 a 4, dal canto loro, possono naturalmente essere utilizzati senza riferimento allo studio dei capitoli successivi.

Il libro è aperto da una introduzione, dedicata ad alcuni concetti fondamentali e di estrema generalità, che di norma si danno per scontati o per intuitivi, ma che è parso utile definire almeno una volta esplicitamente; è corredato infine da sette brevi appendici, in cui sono raccolti argomenti che avrebbero appesantito inutilmente il testo principale, pur essendo potenzialmente interessanti almeno per alcuni lettori o per alcuni tipi di approfondimento.

Il libro contiene inoltre circa ottanta esercizi, tutti risolti e nella maggior parte dei casi discussi con un certo dettaglio. A parte un numero limitato di casi, non si tratta di esercizi volti semplicemente a sviluppare la destrezza o la velocità nel calcolo o la familiarità con le formule. Si punta invece sulla capacità di impostare un problema matematico, individuare gli strumenti di soluzione e capire gli esiti ottenuti. In altri termini, un esercizio "ideale" è quello che fa passare allo studente relativamente poco tempo con la penna in mano a eseguire calcoli e che invece lo costringe, prima, a chiedersi quali calcoli eseguire e poi a riflettere intensamente per interpretare i risultati.

Le applicazioni economiche, con l'eccezione dell'introduzione e del capitolo 1, sono distribuite in tutto il libro. Esse seguono due filoni principali. Il primo è sostanzialmente un commento matematico alla teoria del consumatore: si comincia nel capitolo 2 con una discussione dell'assioma di continuità, si prosegue nel capitolo 3 con lo studio del ruolo del concetto di convessità nella teoria dell'utilità, per arrivare nel capitolo 6 a un riepilogo dei principali aspetti matematici della teoria del consumatore. Il secondo filone, invece, "commenta" alcuni modelli chiave della teoria della crescita: il modello di Solow (capitolo 4), il modello di Ramsey (in diverse versioni, nei capitoli da 4 a 7), il modello AK (capitoli 5 e 7) e il modello di crescita con capitale umano di Lucas. Altre applicazioni (statica comparata e dinamica del modello IS-LM e del modello "classico", un modello principale-agente, un modello di crescita a due settori, un problema di estrazione ottimale di una risorsa naturale) sono presentate nel corso del libro.

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Pagina 185

Introduzione

In generale, un problema di ottimizzazione consiste nel trovare il punto (o i punti) di un insieme B, detto insieme ammissibile, in cui una funzione f(.): B -> R, detta funzione-obiettivo, raggiunge il valore più elevato tra tutti quelli che assume in B (punto o punti di massimo). In economia assumiamo che gli agenti economici scelgano, tra le alternative disponibili (che corrisponderebbero al nostro insieme B), quella che preferiscono. Per questo, nei casi in cui le preferenze si possono rappresentare mediante una funzione-obiettivo, possiamo dire che l'agente si comporta come se risolvesse ogni volta un problema di ottimizzazione.

Dal punto di vista classificatorio, una prima distinzione rilevante è quella tra i casi in cui B è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale a dimensione finita e quelli in cui la dimensione di tale spazio è infinita. In questo capitolo ci occuperemo di problemi di entrambi i tipi: i problemi a dimensione finita sono trattati nei paragrafi da 5.1 a 5.3 e gli altri nei paragrafi da 5.4 a 5.10.

La seconda classificazione riguarda invece la distinzione tra i problemi in cui il massimo cercato è interno a B e quelli in cui si trova sulla frontiera di B (ammesso che questa appartenga a B). In questo capitolo ci limitiamo sostanzialmente ai problemi del primo tipo, detti anche problemi di massimizzazione libera. Per questo motivo, nei paragrafi da 5.4 a 5.10. studiamo essenzialmente un solo tipo di problema, quello noto come "problema più semplice di calcolo delle variazioni".

Questo capitolo accosta quindi problemi convenzionalmente considerati "facili" (massimi liberi in R^n) a problemi generalmente considerati "avanzati" (calcolo delle variazioni "semplice"). Chi scrive è persuaso che le indubbie differenze tra i due tipi di problema attengano più alla definizione e al calcolo delle derivate nei due casi, che non al procedimento logico mediante il quale si arriva a caratterizzare un massimo interno "annullando" le derivate nel punto di ottimo, ossia la famosa "regola di Fermat". Nell'ambito del capitolo, comunque, la trattazione dei problemi più convenzionali è indipendente da quella dei problemi più avanzati.

Sono state proposte applicazioni economiche per entrambi i tipi di problema. Il paragrafo 5.3 offre due applicazioni dell'ottimizzazione libera in R^n, che corrispondono ad altrettanti argomenti di microeconomia "base". Il paragrafo 5.10, invece, riprende il modello di Ramsey, introdotto nel capitolo precedente per illustrare la tecnica dei diagrammi di fase, e lo risolve come applicazione del problema più semplice di calcolo delle variazioni; inoltre, viene presentato e confrontato con il modello di Ramsey il cosiddetto "modello AK" di crescita endogena.

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Pagina 275

Introduzione

Nel corso dei capitoli 5 e 6 sono state presentate varie versioni del problema di massimizzazione di una funzione obiettivo sotto un insieme di vincoli. In particolare, nel capitolo 5 (paragrafi da 5.1 a 5.3) abbiamo dapprima introdotto i problemi di massimizzazione libera a dimensione finita; nei successivi paragrafi (da 5.4 a 5.10) il cosiddetto problema più semplice del calcolo delle variazioni, che è un primo esempio di problema a dimensione infinita. Nel capitolo 6 abbiamo presentato il problema di massimizzazione vincolata nelle sue due versioni, a dimensione finita e a dimensione infinita. Il capitolo 6 è stato dedicato poi, in massima parte, allo studio del problema a dimensione finita. Uno studio più approfondito del problema di massimizzazione sotto vincoli a dimensione infinita (DI) è stato invece rinviato al presente capitolo. Si tratta di argomenti convenzionalmente considerati tra i più "difficili" tra quelli di qualche interesse per gli studenti di economia, ossia problemi di programmazione a dimensione infinita più generali rispetto al problema semplice di calcolo delle variazioni.

Nella maggioranza dei corsi di matematica per economisti, la reale difficoltà insita in questi metodi non viene di solito neppure sfiorata. Tale difficoltà risiede nella strumentazione matematica richiesta per provare i diversi teoremi, mentre, se ci si limita alle applicazioni, si tratta di applicare formule e procedimenti non più complicati, nella sostanza, di tanti altri che si incontrano in campi apparentemente più "facili". Questo libro non fa eccezione alla regola. La teoria sottostante alle tecniche utilizzate non solo viene di rado approfondita mediante dimostrazioni, ma è anche enunciata in maniera necessariamente incompleta e discorsiva.

Quello che si è tentato nel paragrafo 7.1 è di fare intuire al lettore, da un lato, la sostanziale analogia tra il metodo dei moltiplicatori di Lagrange utilizzato nella programmazione matematica a dimensione finita e le tecniche presentate nelle sezioni successive; dall'altro lato, di suggerire come le diverse "sembianze" assunte dai moltiplicatori di Lagrange a seconda del tipo di vincolo cui sono riferiti siano spiegabili in base a un unico principio. Siamo però assai lontani dal "provare" le affermazioni contenute nel paragrafo, cosa che sarebbe impossibile rimanendo nei limiti che il libro si è dato. Sotto il profilo teorico, il risultato principale del paragrafo (e di questo capitolo) è la proposizione 7.1.1, la quale stabilisce una condizione necessaria per una soluzione locale del problema di massimizzazione a dimensione infinita (problema DI). Tale condizione equivale, nel caso presente, alle condizioni di Kuhn-Tucker nel problema a dimensione finita e alla condizione di Eulero nel problema più semplice di calcolo delle variazioni. I paragrafi 7.2, 7.3 e 7.4 sono dedicati al problema di controllo ottimo. Più in particolare, il 7.2 espone il problema in forma standard; il paragrafo 7.3 approfondisce il tema delle condizioni terminali; il paragrafo 7.4 si occupa dei problemi a orizzonte infinito. I paragrafi 7.5 e 7.6 contengono tre applicazioni di economia della crescita: il 7.5 rivisita ulteriormente il modello di Ramsey e il modello AK; Il 7.6 presenta il modello di Lucas.

Il paragrafo 7.7 si occupa dell'introduzione nel problema di controllo ottimo o in altri problemi a dimensione infinita di vincoli in forma di diseguaglianza e in forma di integrale. I paragrafi 7.8, 7.9 e 7.10 presentano tre applicazioni di quanto contenuto nel paragrafo 7.7: un modello di estrazione ottimale di una risorsa naturale; un modello di crescita, desunto da Seierstaed e Sydsaeter (1987); un modello principale-agente.

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