Copertina
Autore Ludwig Wittgenstein
Titolo Osservazioni sopra i fondamenti della matematica
EdizioneEinaudi, Torino, 1979 [1971], Reprints 137 , pag. 298, pref. 35, dim. 125x195x20 mm
OriginaleBemerkungen ber die Grundlagen der Mathematik
EdizioneBasil Blackwell, Oxford, 1956
TraduttoreMario Trinchero
Classe filosofia , matematica
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Indice


p.
XIX Introduzione di Mario Trinchero

    Osservazioni sopra i fondamenti
    della matematica

    Parte prima Circa 1937-38

 5  1-5
    Il problema del seguire una regola.
    (Cfr. Ricercbe filosofiche, n.189
    sgg.). - Passaggi determinati da una
    regola (1-2).  Continuazione di una
    successione (3). Inesorabilità della
    matematica; matematica e verità (4-5).
    Osservazione sul misurare (5).

 9  6-23
    L'inferenza logica. - La parola
    «tutti»; l'inferenza da '(x) - fx' a
    'fa' (10-16). Inferenza e verità
    (17-23).

16  24-74.
    La prova. - La prova come figura o
    modello, paradigma.  Esempio della
    mano e del pentacolo (25 sgg.). La
    prova come immagine di un esperimento
    (36). L'esempio delle 100 palline
    (36 sgg.). Costruzione di una figura
    per mezzo di due parti date (42-72).
    La sorpresa matematica.  Prova e
    convinzione.  Matematica ed essenza
    (32, 73, 74).  La profondità
    dell'essenza: il profondo bisogno
    della convenzione (74).

33  75-105.
    Calcolo ed esperimento. - Il 'render
    manifeste' le proprietà matematiche.
    L'esempio delle 100 palline (75, 86,
    88). Il render manifeste le proprietà
    di un poligono (76), di una catena
    (79, 80, 91, 92).  Il misurare (93,
    94).  Esempi geometrici (96-98).
    Proprietà e relazioni interne (1O2-5);
    esempi tratti dalla logica dei colori.

43  106-112.
    La credenza matematica.


    [...]

 

 

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Pagina 18

31. «Ma non è forse vero che diciamo cosí solo perché già una volta abbiamo messo in corrispondenza M e P e abbiamo visto che sono egualmente numerosi?» - Sí, ma quand'anche lo fossero in un caso - come posso sapere che lo saranno anche in seguito? - «Ebbene, perché è nell' essenza di M e di P che siano ugualmente numerosi». - Ma come puoi aver ricavato questo dalla corrispondenza che hai stabilito? (Credevo che dall'enumerazione, ossia dalla corrispondenza, che si è stabilita, risultasse soltanto che sono - o non sono - ugualmente numerosi questi due gruppi qui, che ho davanti a me in questo momento.)

- «Ma se uno ha un insieme di cose M e un insieme di cose P, e li mette davvero in corrispondenza biunivoca, non è certamente possibile che ottenga qualche altro risultato, se non che sono ugualmente numerosi. E che non sia possibile lo si vede dalla prova». - Ma non è davvero possibile? Non può darsi, per esempio - potrebbe dire un altro - che il nostro amico dimentichi di tracciare una delle linee che fanno corrispondere gli elementi dei due insiemí? Ammetto, tuttavia, che nella grandissima maggioranza dei casi otterrà sempre il medesimo risultato e che, non ottenendolo, pensi di esserne stato sviato in qualche modo. E che se cosí non fosse, l'intera prova sarebbe privata del suo fondamento. Infatti, invece di far corrispondere i due gruppi, decidiamo di usare l'immagine-prova; non stabiliamo tra essi una corrispondenza effettiva, ma in luogo di ciò, confrontiamo i nostri due gruppi con quelli della prova (in cui veramente si mettono in corrispondenza tra loro due gruppi).

32. Come risultato della prova potrei anche dire: «D'ora in poi un M e un P si dirano 'egualmente numerosi'»

Oppure anche: la prova non indaga l'essenza delle due figure, ma esprime quello che, d'ora in poi, dovrò considerare come appartenente alla loro essenza.- Ciò che appartiene all'essenza lo relego tra i paradigmi del linguaggio.

Il matematico produce essenza.

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Pagina 36

82. (Una volta scrissi: «In matematica processo e risultato sono equivalenti».)

83. E tuttavia sento che questa è una proprietà del '100': che viene, o può venire, prodotto cosí. Ma come può l'essere prodotto cosí costituire una proprietà della struttura '100' se, per esempio, questa non venisse affatto prodotta cosí? Se nessuno moltiplicasse cosí? Certamente, solo se si potesse dire che è una proprietà di questo segno l'essere oggetto di questa regola. Per esempio, è una proprietà del '5' l'essere oggetto della regola '3 + 2 = 5'. Perché, solo in quanto oggetto della regola, il numero è il risultato dell'addízione di quegli altri numeri.

Ma se ora dicessi: «l'essere il risultato dell'addizione ... secondo la regola ... è una proprietà del numero ... »? - Il fatto che risulti dall'applicazione di questa regola a questi numeri è dunque una proprietà del numero. La domanda è: se il risultato non fosse questo numero, parleremmo ancora di 'applicazione della regola'? E questa è la stessa domanda che: «Che cosa intendi, tu, parlando di 'applicazione di questa regola'? Quello che fai con essa? (e potresti applicarla ora in questo modo ora in quest'altro); oppure l'espressione 'la sua applicazione' ha una spiegazione diversa? »

84. « una proprietà di questo numero che questo processo conduca ad esso». - Però, matematicamente parlando, non c'è nessun processo che, conduca a questo numero: il numero è il termine di un processo (fa ancor parte del processo).

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Pagina 55

131. Le leggi logiche sono bensí l'espressione delle 'abitudini di pensiero', ma anche dell'abitudine a pensare. Si può dire, cioè, che esse mostrano il modo in cui gli uomini pensano, e anche che cosa gli uomini chiamino «pensare».

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Pagina 56

133. Le proposizioni della logica sono 'leggi del pensiero', 'perché esprimono l'essenza del pensare umano' - ma, piú correttamente: perché esprimono, o mostrano, l'essenza, la tecnica del pensare. Esse mostrano che cos'è pensare, e anche modi del pensare.

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Pagina 63

163. Certamente l'esperienza mi insegna quale sia l'esito del calcolo. Ma con questo io non l'accetto ancora.

164. L'esperienza mi ha insegnato che questa volta è risultato ciò che risulta di solito; ma la proposizione della matematica dice proprio questo? L'esperienza mi ha insegnato che io ho percorso questa strada. Ma è questa l'asserzione matematica? - Ma allora, che cosa dice? In che rapporto sta con queste proposizioni empiriche? La proposizione matematica ha la dignità di una regola.

Nell'affermazione che la matematica è logica c'è questo di vero: la tnatematica si muove tra le regole del nostro linguaggio. E questo le conferisce la sua particolare solidità, la sua posizione inattaccabile e solitaria.

(La matematica relegata tra le unità di misura.)

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Pagina 64

167. Il matematico non scopre: inventa.

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